بطلمیوس

بَطْلَمْیوس‌ (بطلمیوس قَلوذی‌) (85-163 یا 170م‌)، از بزرگ‌ترین‌ دانشمندان‌ روزگار باستان‌ كه‌ در شهرت‌ به‌ عنوان‌ اخترشناس‌ و جغرافی‌دان‌ تا روزگار حاضر همانندی‌ نیافته‌ است‌. وی‌ دستاوردهای‌ اخترشناسی‌ دانشمندان‌ روزگاران‌ پیش‌ از خود را گرد آورد و منظم ساخت، چكیده اخترشناسی یونانیان‌ را تدوین‌ و عرضه‌ كرد، و در ریاضیات و نورشناسی‌ و موسیقی‌ نیز به‌ تحقیق‌ پرداخت‌. درباره زندگی‌ وی‌ چیزی‌ بیش‌ از آنچه‌ از آثار او ــ به‌ویژه‌ مجسطی‌ ــ می‌توان‌ دریافت‌، در دست‌ نیست‌. از گزارشهای‌ او در این‌ كتاب‌ معلوم‌ می‌شود كه‌ از مارس‌ 127 تا فوریۀ 141 در اسكندریه‌ در كارِ رصدِ ستارگان‌ بوده‌ است‌ و از منابع‌ متأخرتر نیز بر می‌آید كه در پتولمایوس‌ واقع‌ در مصرِ میانه‌ زاده‌ شده‌، و سالهای‌ نخست‌ حكومت‌ ماركوس‌ آورِلیوس‌ (161-180م‌) را نیز دریافته است‌. درمنابع اسلامی‌ آورده‌اند كه‌ بطلمیوس‌ 78 سال‌ زیسته‌ است‌. در برخی‌ منابع‌ نیز دوران‌ زندگی‌ او را از 100 تا 180م‌ یاد كرده‌اند (ابن‌ ندیم‌، 327؛ صاعد، 29-31؛ قفطی‌، 95-97؛ نویگباور، II / 834؛ پاولی‌، .(XXIII / 1788-1791

آثـار

 الف‌ ـ ستاره‌شناسی‌

1. مجسطی

این‌ كتاب‌ نخستین‌ و مهم‌ترین‌ اثر بطلمیوس‌ است‌. نام‌ اصلی‌ آن‌ به‌ احتمال زیاد «مجموعۀ ریاضی‌» بوده كه در منابع‌ اسلامی‌ نیز بدان اشاراتی شده است‌ (بیرونی‌، القانون‌...، 1 / 24- 25؛ نک‍ : نویگباور، .(II / 836در منابع‌ جدیدتر یونانی‌ (سدۀ 5م‌) آن‌ را «مجموعۀ بزرگ‌» نامیده‌اند و ترجمۀ عربی‌ آن‌ المجسطی‌ نام‌ یافته‌ است‌. پژوهشگران‌ اروپایی‌ دربارۀ عنوان‌ مجسطی‌ نظریاتی‌ عرضه‌ كرده‌اند، از جمله اینکـه‌ این‌ واژه‌ حاصل‌ تركیب‌ و اختصار واژه‌های‌ مگالو و سونتاكسیس‌ است‌.نویگباور این‌ نظرات‌را خطا می‌شمرد (II / 836-837؛ نک‍ : نالینو، 222-223؛ پاولی، .(XXIII / 1797 ز آنجا كه‌ ترجمۀ عربی‌ این‌ كتاب شهرت و اعتباری جهانی‌ یافت‌، عنوان‌ المجست‌ نیز در زبانهای‌ اروپایی‌ متداول‌ گشت‌. مجسطی‌ تا دوران‌ كُپرنیك‌ عمده‌ترین‌ كتاب‌ نجومی‌ و پایۀ ستاره‌شناسی‌ شمرده‌ می‌شد و در حقیقت با فاصلۀ اندكی در ردیف‌ اصول‌ هندسۀ اقلیدس قرار گرفت (كانتور، I / 414؛ پاولی‌،XXIII / 1799؛ «فرهنگ‌ فنی‌»، .(471-472
بطلمیوس در مقدمۀ این كتاب بر اهمیت ریاضیات تأكید می‌ورزد. به‌ گفتۀ وی‌، تنها ریاضیات‌ به‌ جویندگان‌ دانش‌ اطمینان‌ می‌بخشد و «همان‌گونه‌ كه‌ در حساب‌ و هندسه‌ دیده‌ می‌شود، ریاضیات‌ ذهن‌ انسان‌ را به راههایی‌ می‌برد كه‌ در آنها جای‌ دودلی‌ و خدعه‌ و فریب‌ نیست‌. به‌ همین‌ سبب‌، ما نیز خود را وقف‌ این‌ دانش‌ متعالی ساختیم‌». در اینجا بطلمیوس‌ دیدگاه‌ دینی‌ خود را نیز مطرح‌ می‌كند و سبب‌ توجه‌ خود به‌ دانش‌ ستاره‌شناسی‌ را كه‌ به‌ شناخت‌ اجرام‌ آسمانی‌ مربوط می‌شود، بیان‌ می‌دارد: جهان‌ آسمانها و ستارگان‌ جهانی‌ ثابت‌ و استوار است و دانش‌ حقیقی‌، دانش‌ ثابتات‌ است‌؛ درحالی‌ كه‌ در طبیعیات به سبب بی‌ثباتی عنصر و پوشیدگی‌ حال‌ آن‌، دانش‌ حقیقی‌ به‌ دست‌ نمی‌آید، چنانکـه‌ حكما نیز درباره آن‌ اتفاق‌ نظر ندارند (ص‌ 6-5؛ نصیرالدین‌، گ‌ 2 رو). در توضیح‌ سخن‌ بطلمیوس‌ باید از این‌ نکـته‌ یاد كرد كه‌ در دانش‌ روزگار باستان‌ جهان‌ زمینی را جهان دگرگونی و فساد و زوال‌ می‌دانستند؛ درحالی‌ كه‌ جهان‌ آسمانی در عین جنبش‌، ثابت‌ و استوار محسوب‌ می‌شد. جنبشها را نیز برخاسته‌ از حكمت‌ خدایان‌ می‌شمردند. حركتها دایره‌ای‌ بودند و همۀ اجرام‌ همواره‌ به‌ جای‌ نخست‌ خود باز می‌گشتند؛ بدین‌سان‌، مشاهده‌ می‌شود كه‌ در دیدگاه‌ بطلمیوس میان‌ دانش‌ و دین‌ پیوندی‌ استوار وجود دارد (همانجاها؛ پاولی‌، .(XXIII / 1801 كار عمدۀ بطلمیوس در مجسطی‌ گردآوری‌، تدوین‌ و تنظیم‌ رصدها و پژوهشهای‌ پیشینیان‌ خود است‌ و اگر چنین‌ نکـرده‌ بود، اكنون‌ از آن‌ مجموعۀ تحقیقات‌ جز اندكی‌ در دسترس‌ نمی‌بود. 
مجسطی‌ شامل‌ 13 كتاب‌ (در متون‌ اسلامی‌: مقاله‌) است‌. در كتاب‌ اول‌ از كروی‌ بودن زمین و آسمان‌، سكون‌ زمین‌ و مركزیت‌ آن‌ سخن‌ گفته‌ می‌شود. براهین‌ بطلمیوس‌ در این‌ زمینه‌ مبتنی‌ بر آثار گذشتگان‌، به‌ویژه‌ ارسطوست‌ و از دیدگاه‌ دانش‌ مكانیك‌ آن‌ روزگار جای‌ اشكالی‌ در آنها نیست‌. به‌ گفتۀ بطلمیوس‌ هرگاه‌ زمین‌ در حركت‌ باشد، باید همۀ چیزهایی‌ كه‌ بر آن‌ میخ‌كوب‌ نشده‌اند، در خلاف‌ جهت‌ حركت آن‌ به‌ فضای‌ بیرون‌ پرتاب‌ شوند (ص12-7؛ نصیرالدین‌، گ‌ 3 پشت‌؛ پاولی‌، XXIII / .(1801-1802 شایان‌ ذكر است‌ كه‌ برخی‌ از پژوهشگران‌ مسلمان‌ این‌ استدلالها را اقناعی‌ و غیرضروری‌ شمرده‌اند (بیرونی‌، القانون‌، 1 / 27؛ نصیرالدین‌، همانجا). همچنین‌ یكسان‌ ماندن‌ فواصل‌ ظاهری‌ ثوابت‌ با زمین‌ دلیل‌ خردپسندی‌ بر سكون‌ زمین‌ شمرده‌ می‌شد ( پاولی‌، همانجا). در كتاب اول همچنین گزاره‌های‌ هندسی‌ كه‌ در محاسبات‌ مربوط به‌ جدولهای‌ وترها لازمند، مطرح‌ می‌شوند. پیرامون‌ دایره‌ به°360، و قطر آن به 120 جزء تقسیم‌ می‌شود. پس‌ از این‌ مقدمات‌، اضلاع‌ ده‌ ضلعی‌، شش‌ ضلعی‌، پنج‌ ضلعی‌، چهار ضلعی‌ و مثلث‌ منتظم‌ محاسبه‌ می‌شود؛ آن‌گاه‌ گزاره مشهور بطلمیوس‌، یعنی‌ برابری‌ حاصل‌ ضرب دو قطرِ چهارضلعی محاط در دایره‌ با مجموع حاصل‌ ضربهای‌ اضلاع‌ متقابل آن‌ به‌ اثبات‌ می‌رسد. به‌ یاری‌ این‌ گزاره‌، هنگامی‌ كه‌ وترهای‌ دو كمان‌ از دایره‌ای‌ داده‌ شده‌ باشند، می‌توان‌ وترهای‌ مجموع‌ و تفاضل‌ آن‌ دو كمان‌ را به‌ دست‌ آورد (ص‌21-14 ؛ نصیرالدین‌،گ‌ 4؛ كانتور،I / 416؛ پاولی‌، همانجا). 
بدین‌سان‌، می‌توان‌ با در دست‌ داشتن‌ وترِ كمانهای‌   و   دایره‌، وترِ كمان ‌°12، و سپس‌ ــ به‌ یاری‌ قانون‌ تنصیف‌ ــ وترهای ‌°6،°3،   و   را به‌ دست‌ آورد. بیرونی‌ قانون‌ مربوط به‌ وترها و مجموع‌ و تفاضل‌ زوایا را به‌ ارشمیدس‌ نسبت‌ داده‌ است‌ (همان‌، 1 / 273-286؛ شوی‌، .(I / 12-27
بطلمیوس‌ سپس‌ جدولی‌ به‌ دست‌ می‌دهد كه‌ در آن‌، اندازۀ وترهای‌ كمانهای‌ صفر تا°180 برای‌ دایره‌ای‌ به‌ شعاع‌ 60 واحد، با فواصل‌ نیم‌درجه‌ آمده‌ است‌ (ص‌24-21؛ نصیرالدین‌،گ‌5؛کانتور، .(I / 415-417 پیش‌ از بطلمیوس‌ نیز كسانی‌ به‌ كار تنظیم‌ جدولهای‌ وترها همت‌ گماشته‌ بودند. تئون‌ در شرح‌ خود بر فصل‌ دهم‌ كتاب‌ اول‌ مجسطی‌ یادآور می‌شود كه‌ ابرخس‌ و منلائوس‌ نیز به‌ محاسبۀ وترها پرداخته‌اند؛ در عین‌ حال‌، وی‌ به‌ درستی‌ بطلمیوس‌ را به‌ سبب‌ شیوۀ محاسبۀ هوشمندانه‌تر و ساده‌ترِ وی‌ می‌ستاید(نک‍ : بطلمیوس‌،نصیرالدین‌، نیز پاولی‌، همانجاها). 
بطلمیوس‌ در فصل‌ 12 كتاب‌ نخست‌، دو ابزارِ رصد را كه‌ وی‌ به‌ یاری‌ آنها به‌ اندازه‌گیری‌ میل‌ دائرۃالبروج‌ پرداخته‌ است‌، وصف‌ می‌كند. مقادیری‌ كه‌ وی‌ برای‌ دو برابرِ میل‌ كلی‌، یعنی‌ فاصلۀ میان‌ مدار رأس‌السرطان‌ و رأس‌الجدی‌ به‌ دست‌ داده‌، میان‌°47 و´40 تا°47 و´45، یعنی همان‌ رقمی‌ است‌ كه‌ اراتوستنس‌ به‌ دست‌ آورده‌، و ابرخس‌ نیز به‌ كار برده‌ است‌. بطلمیوس‌ در همه محاسبات‌ خود مقدار°47 و´42 و"40 را كه‌ به‌ رقم‌ آن دو، یعنی «  ×360» بسیار نزدیك‌ است‌، مبنا قرار می‌دهد (ص‌ 26-24؛ نصیرالدین‌، گ‌ 7 رو؛ پاولی‌، XXIII / 1802-1803 ؛ «زندگی‌نامه‌...»، .(XI / 189
در فصل‌ 13 بطلمیوس‌ گزاره‌ای‌ را كه‌ در منابع‌ عربی‌ شكل‌ قَطّاع‌ نام‌ یافته‌ است‌، اثبات‌ می‌كند و در فصول‌ بعد، از همین‌ گزاره‌ برای‌ محاسبه بُعد و میل‌ بهره‌ می‌گیرد (ص‌.(24-33شایان‌ ذكر است‌ كه‌ منلائوس‌ نیز این‌ گزاره‌ را به‌ كار برده‌، و پیش‌ از او نیز شناخته‌ شده‌ بوده‌ است‌ (نصیرالدین‌، گ‌ 8 رو -10 پشت‌؛ هیث‌،II / 270 ؛پاولی‌، همانجا). 
در كتاب‌ دوم‌ بطلمیوس‌ با همین‌ شیوه‌ به‌ حل‌ مسائل‌ نجوم‌ فلكی‌ می‌پردازد؛ مسائلی‌ چون‌ محاسبه ارتفاع‌ قطب‌ از روی‌ طول‌ بلندترین‌ روز و برعكس‌، محاسبۀ بلندترین‌ و كوتاه‌ترین‌ سایه‌ در عرضهای‌ جغرافیایی‌ گوناگون‌، زمانهای‌ آغازِ برجها، زاویه میان‌ دائرۃالبروج‌ و افق‌ و جز آنها كه‌ ابرخس‌ نیز به‌ حل‌ آنها پرداخته‌ بوده‌ است‌. 
وی‌ در كتاب‌ سوم‌ به‌ حركات‌ خورشید می‌پردازد و پس‌ از مقایسه رصدهای‌ كهن‌ با رصدهای‌ خود برای‌ طول‌ سال‌ رقم‌ « – + 365» روز را به‌ دست‌ می‌آورد. این‌ همان‌ رقمی‌ است‌ كه‌ پیش‌ از او ابرخس‌ نیز به‌ دست‌ داده‌ بود؛ ضمن‌ آنکـه‌ بطلمیوس‌ در كارِ رصد به‌ هیچ‌ روی‌ به‌ پای‌ ابرخس‌ نمی‌رسید. زمان‌ اعتدال‌ پاییزی‌ بطلمیوس‌ ــ كه‌ به‌ گفتۀ خودش‌ با دقت‌ بسیار رصد شده‌ است‌ ــ 36 ساعت با اعتدال واقعی‌ اختلاف‌ دارد. اختلاف‌ اعتدال‌ بهاری‌ و انقلاب‌ تابستانیِ او نیز با مقدار واقعی‌ به‌ ترتیب‌ 12 و 36 ساعت است‌. شگفت اینکـه از رصدهای ابرخس‌ نیز دقیقاً همین‌ ارقام‌ به‌ دست‌ می‌آید. بدین ترتیب‌، روشن‌ می‌شود كه‌ بطلمیوس‌ نتایج‌ رصدهای‌ خود را به‌ سود ارقام‌ به‌ دست‌ آمده‌ از سوی‌ ابرخس‌ تعدیل‌ كرده‌ است‌ (ص95 -93 ؛ نصیرالدین‌، گ‌ 20 پشت‌ ـ 21 رو؛ پاولی‌، XXIII / 1803؛ «زندگی‌نامه‌»، .(XI / 190
ستاره‌شناسان‌ دوران‌ باستان‌ برای‌ تبیینِ حركات‌ خورشید و تغییر فاصله آن‌ با زمین‌ با تصورِ فلك‌ خارج‌ از مركز و فلك‌ تدویر، به چاره‌جویی هوشمندانه‌ای برخاستند. فلك‌ خارج‌ از مركز فلكی‌ است‌ كه مركز آن‌ با زمین‌ فاصله‌ دارد و خورشید با سرعت‌ یكنواخت‌ بر روی‌ آن‌ حركت‌ می‌كند. فلك‌ تدویر دایرۀ كوچكی‌ است كه‌ مركز آن‌ بر روی‌ دایره بزرگ‌تری‌، به‌ نام‌ فلك‌ حامل‌ ــ كه‌ زمین‌ در مركز آن‌ قرار دارد ــ حركت‌ می‌كند. دورترین‌ نقطه این‌ دایرۀ كوچك‌ از زمین‌ اوجِ فلك‌ تدویر است‌. خورشید بر روی‌ فلك‌ تدویر، با سرعتی‌ مساوی‌ سرعتِ مركز فلك‌ تدویر و در خلاف‌ جهت‌ آن‌، حركت‌ می‌كند. بطلمیوس‌ نشان‌ می‌دهد كه‌ با فرض‌ فلك‌ حامل‌ و فلك‌ تدویر نیز به‌ همان‌ دقت‌ فرض‌ فلك‌ خارج‌ از مركز می‌توان‌ جای‌ خورشید را در هر زمان‌ مشخص‌، و حركت‌ آن‌ را تبیین‌ كرد. چنین‌ می‌نماید كه‌ ابرخس‌ فرصت‌ نیافته‌ است‌ كه‌ در زمینه هم‌ارز بودنِ این‌ دو فرضیه‌ بررسی‌ كند، زیرا وی‌ به‌ نوشته تئون‌ اقامه برهان‌ بر پیامدهای‌ یكسانِ این‌ دو فرضیه‌ را برعهده ریاضی‌دانان‌ گذارده‌ است‌. بطلمیوس‌ نیز به‌رغمِ دریافتن‌ این‌ هم‌ارزی‌، با پیروی‌ از سنتی‌ كه‌ به‌ آپولونیوس‌ باز می‌گردد، به‌طور جداگانه‌ به‌ اثبات‌ نتایج‌ دو فرضیه‌ می‌پردازد (همانجا؛ نصیرالدین‌، گ‌ 21 پشت‌ ـ 22 پشت‌؛ پاولی‌،1804 .(XXIII / 1803- 
در فصل‌ 4 بطلمیوس‌ ــ با پیروی‌ از روش‌ ابرخس‌ ــ مقدارِ خروج‌ از مركز (فاصله میان‌ مركز زمین‌ و مركز فلك‌ خارج‌ از مركز) را معین‌ می‌سازد. وی‌ فاصلۀ میان‌ اعتدال‌ بهاری‌ و انقلاب‌ تابستانی‌ را   روز، و فاصلۀ میان‌ انقلاب‌ تابستانی‌ و اعتدال‌ پاییزی‌ را   روز می‌یابد، یعنی‌ همان‌ ارقامی‌ كه‌ ابرخس‌ به‌ دست‌ آورده‌ بود. از این‌ ارقام‌ برای‌ خروج‌ از مركز رقم‌°2 و´30، و برای‌ طول‌ اوج‌ خورشیدی‌°65 و´30 به‌ دست‌ می‌آید. عین‌ این‌ ارقام‌ رانیز ابرخس‌ به‌ دست‌ داده‌ بوده‌ است‌. او پس‌ از این‌ ارقام‌، مقدار اختلاف‌ منظر خورشید را به‌ دست‌ می‌آورد كه‌ باید آن‌ را به‌ طول‌ متوسط خورشید افزود تا طول‌ حقیقی‌ آن‌ به‌ دست‌ آید. همه این محاسبات به یاری قوانین مثلثات مسطحه صورت‌ می‌گیرد. 
از سوی‌ دیگر، حركت‌ نایكنواخت‌ خورشید موجب‌ می‌شود كه‌ فاصله میان‌ دو نیم‌ روزِ متوالی‌ یكسان‌ نباشد. بطلمیوس‌ در فصل‌ 9 به‌ چگونگی‌ محاسبه این‌ ناهمسانیها می‌پردازد (ص‌107-93 ؛ نصیرالدین‌، گ‌ 22 پشت ‌ـ 25 رو؛ پاولی‌، .(XXIII /
در كتابهای‌ چهارم و پنجم بطلمیوس‌ به‌ پژوهش‌ دربارۀ حركت‌ ماه‌ پرداخته‌، و در این‌ زمینه‌ محاسبات‌ ابرخس‌ را تكرار كرده‌ است‌. ابرخس‌ بر پایۀ رصدهای‌ كهن‌ محاسبه‌ كرده‌ بود كه‌ ماه‌ در 007‘126 روز و یك‌ ساعت‌ كه‌ تقریباً برابر 345 سال‌ خورشیدی‌ است‌، 267‘4 دورۀ هلالی‌ را طی‌ می‌كند كه‌ برابر 612‘4 دوره نجوم1804ی است و در همین مدت‌، 573‘4 بار ناهنجاری‌ (تغییر سرعت‌) به‌ شكل‌ كامل‌ تكرار می‌شود. ابرخس‌ همچنین‌ حساب‌ كرده‌ بود كه‌ 458‘5 دورۀ هلالی ماه برابر 923‘5 ماه‌ جوزَهَری‌ است‌. كوگلِر در پژوهشهای‌ خود دربارۀ متون‌ ستاره‌شناسی‌ به‌ خط میخی‌ نشان می‌دهد كه این محاسبات سرچشمۀ بابلی دارند (نک‍ : بطلمیوس‌، 108 -100 ؛ نصیرالدین‌، گ‌ 25 پشت‌-26 رو؛ پاولی‌، همانجا؛ «زندگی‌نامه‌»،.(XI / 191 
بطلمیوس محاسبات ابرخس را دربارۀ دورۀ هلالی ماه‌ می‌پذیرد، اما بر آن‌ است كه‌ وی‌ در محاسبات‌ مربوط به‌ ماه‌ جوزهری‌ مرتكب‌ خطاهای‌ عمده‌ شده‌ است‌؛ در عین‌ حال‌، اختلاف‌ ارقامی‌ كه‌ خود وی‌ به‌ دست‌ آورده‌، با ارقام‌ ابرخس‌ به‌ قدری‌ ناچیز است‌ كه‌ در طول‌ هزار سال‌ نیز در تعیین‌ زمان‌ ماه‌ گرفتگیها و اندازۀ آنها تفاوت‌ قابل‌ ذكری‌ به‌ وجود نمی‌آورد. همچنین‌ شایان‌ توجه‌ است‌ كه‌ از راه‌ رصد به‌ هیچ‌ روی‌ نمی‌توان‌ به‌ این‌ مایه‌ از دقت‌ دست‌ یافت‌. در عین‌ حال‌، وی‌ به‌ یاری‌ این‌ ارقام‌ تصحیح‌ شده‌ جدولی‌ تنظیم‌ می‌كند كه‌ از آن‌ می‌توان‌ تغییرات‌ طول‌ متوسط، اختلاف‌ منظر و خاصۀ عرض‌ را برای‌ هر زمان‌ به‌ دست‌ آورد (ص‌119 -114؛ نصیرالدین‌، گ ‌26 پشت‌ -27پشت‌؛ پاولی‌، XXIII / 1805؛ «زندگی‌نامه‌»، .(XI / 191-192
بطلمیوس‌ بار دیگر نظریۀ فلك‌ تدویر و فلك‌ خارج‌ از مركز را برای‌ تبیین‌ حركات‌ ماه‌ مطرح‌ می‌كند. وی‌ در صفحه‌ای‌ كه‌ نسبت‌ به‌ صفحۀ دائرۃالبروج‌ مایل‌است‌ و به‌آهستگی‌ برخلاف‌ جهت‌صور منطقةالبروج‌ دوران‌ دارد، یك‌ فلك‌ متحدالمركز فرض‌ می‌كند؛ فلك‌ تدویر بر روی‌ این‌ دایره‌ برخلاف‌ جهت‌ صور با چنان‌ سرعتی‌ حركت‌ می‌كند كه‌ مركز آن‌ در مدت‌ یك‌ ماه‌ جوزهری‌ به‌ خط عقدتین‌ باز می‌گردد. حركت‌ ماه‌ بر روی‌ فلك‌ تدویر در خلاف‌ جهت‌ صور فلكی‌ صورت‌ می‌گیرد. بطلمیوس‌ آن‌گاه‌ 3 ماه‌ گرفتگی‌ را كه‌ در سالهای‌ 721 و 720ق‌ م‌ در بابل‌ رصد شده‌اند، بررسی‌ می‌كند و بر پایۀ روشی‌ كه‌ ابرخس‌ به‌ كار برده‌ است‌، اندازه فلك‌ تدویر و مقادیر ناهنجاری‌ (نصیرالدین‌: اختلاف‌) را به‌ دست‌ می‌آورد. سپس‌ 3 ماه‌ گرفتگی‌ را - كه‌ در سالهای‌ 133 تا 136م‌ به‌ گفتۀ خودش‌ با دقت‌ تمام‌ رصد كرده‌ است‌ - در نظر می‌گیرد و به‌ همان‌ روش‌ اندازه فلك‌ تدویر را محاسبه‌ می‌كند و همان‌ ارقام‌ را به‌ دست‌ می‌آورد و با مقایسه مقادیر اختلاف در رصدهای سال‌ 720ق‌م‌ و 134م‌ به‌ تصحیح‌ ارقام‌ ابرخس‌ می‌پردازد. آن‌گاه دو ماه‌ گرفتگی‌ سالهای‌ 491ق‌م‌ و 125م‌ را كه‌ هر دو در نزدیكی عقدةالرأس رخ داده، و در هر دو بخشهای‌ یكسانی‌ از ماه‌ تاریك‌ شده‌ بود، مقایسه‌ می‌كند و خطای‌ ابرخس‌ را در محاسبه حركت‌ عرضی به دست می‌آورد. او در اینجا یادآور می‌شود كه‌ به‌ علت‌ پیروی‌ از نظر ابرخس‌ در اندازۀ فلك‌ قمر كه‌ آن‌ را 650 برابرِ قطر قمر پنداشته‌، نخست‌ در محاسبۀ حركت‌ عرضی‌ ماه‌ دچار خطا شده‌ بوده‌ است‌؛ آن‌گاه‌ جدولی‌ از مقادیرِ تعدیلات‌ تنظیم‌ می‌كند كه‌ باید آنها را به‌ بُعدِ متوسط ماه‌ افزود، یا از آن‌ كاست‌ تا موضع‌ حقیقی‌ ماه‌ به‌ دست‌ آید. این‌ جدول‌ نشان‌ می‌دهد كه‌ نظریه بطلمیوس‌ با ماه‌ گرفتگیهای‌ رصد شده‌ از سوی‌ ابرخس كاملاً منطبق است‌ (بطلمیوس، 139-120؛ نصیرالدین‌، گ‌ 28 رو ـ 32 پشت‌؛ پاولی‌، همانجا). 
بطلمیوس‌ در كتاب‌ پنجم‌ نخست‌ به‌ وصف‌ نوعی‌ اسطرلاب‌ می‌پردازد كه‌ بعدها در ترجمه‌های‌ عربی‌ ذات‌ الحلق‌ نامیده‌ شد. وی‌ از این‌ ابزار برای‌ اندازه‌گیری‌ طول‌ و عرض‌ ماه‌ بهره‌ گرفته‌ است‌. حاصل رصدهای وی با آنچه از راه‌ محاسبه‌ به‌ دست‌ می‌آید، در هنگام‌ بدر و هلال‌ تقریباً برابر است‌، اما در تربیعات‌ تفاوت‌ دارد. این‌ تفاوت‌ را امروز انحراف‌ می‌نامند. كشف‌ و توضیح‌ این‌ پدیده‌ یكی‌ از دستاوردهای‌ مهم‌ بطلمیوس‌ است‌. وی‌ به‌ این‌ نتیجه‌ دست‌ یافت‌ كه‌ در تربیعات باید تعدیلات‌ مندرج‌ در جدولها با حفظ علامت‌ در   ضرب‌ شود. از این‌ كشف‌ چنین‌ بر می‌آید كه‌ در تربیعات‌ باید فاصله مركز دایره تدویر از زمین‌ كمتر از همین‌ فاصله‌ در هنگام‌ مقابله‌ و مقارنه‌ باشد. برای‌ سازگار ساختن‌ حركات‌ ماه‌ با این‌ نتیجه‌، بطلمیوس‌ چنین‌ فرض‌ می‌كند كه‌ مركز دایره تدویر بر روی‌ یك‌ دایره خارج‌ از مركز حركت‌ می‌كند و مركز دایره اخیر بر روی‌ دایره كوچكی‌ در پیرامون‌ زمین‌ و در خلاف‌ جهت‌ حركت‌ بروج‌ تنها به‌ اندازه تفاوت‌ میان‌ دو برابرِ بُعد و حركت‌ عرضی‌ گردش‌ می‌كند. در اینجا منظور از بعد تفاوت‌ میان‌ طولهای‌ متوسط ماه‌ و خورشید، و مقصود از حركت‌ عرضی‌ تفاوت‌ میان‌ طول‌ متوسط ماه‌ و طول‌ عقدهالرأس‌ است‌؛ حركت‌ مركز فلك‌ تدویر نسبت‌ به‌ زمین‌ حركتی‌ یكنواخت‌ است‌. با این‌ فرض‌ مواضع‌ ماه‌ در هنگام‌ مقابله‌ و مقارنه‌ و تربیعات‌ به‌ درستی‌ مشخص‌ می‌شود؛ اما تغییر فاصله ماه‌ از زمین‌ بیش‌ از اندازۀ واقعی‌ می‌نماید، یعنی‌ حداكثرِ فاصله آن‌ تقریباً به‌ دو برابرِ حداقل‌ آن‌ می‌رسد. بطلمیوس‌ برای‌ یافتن‌ موضع‌ ماه‌ در فواصل‌ میان‌ تربیعات‌ و مقارنه‌ و مقابله‌ مبدأ حركت‌ بر روی‌ دایره تدویر را 
با تعیین «نقطه محاذات‌» مشخص می‌سازد (ص‌160-143؛ یعقوبی‌، 1 / 109-110؛ نصیرالدین‌،گ‌ 31 پشت ـ 35 پشت‌؛ پاولی‌، XXIII / 1806؛ «زندگی‌نامه‌»، .(XI / 193-194