خجندی

خُجَنْدی،  ابومحمود حامد بن خضر، منجم، ریاضی‌دان و سازندۀ برجستۀ ابزارهای نجومی در قرن 4 ق / 10 م. او را ابومحمد نیز گفته‌اند (نک‍ ‍: بدیع، الاتمام ... ، گ 31 پ، کتاب ... ، گ 2 پ؛ حسام‌الدین، گ 1 پ؛ معصومی، 100). اگرچه مورخان و تذکره‌نویسان متقدم به زندگی و احوال خجندی نپرداخته‌‌اند، اما قراین تاریخی، گواه بر فعالیت علمی او در نیمۀ دوم قرن 4 ق در ری است. 
ابوجعفر خازن (ه‍ م) در رساله‌ای، اثبات قضیه‌ای در ریاضیات را به خجندی نسبت داده، و آن را ناقص و غلط دانسته‌است (نک‍ ‍: دنبالۀ مقاله). فارغ از موضوع مسئله، ادعای ابوجعفر خازن قدیمی‌ترین نشانه دربارۀ خجندی است. از آنجا که درگذشت ابوجعفر خازن را میان سالهای 350-360 ق / 961-971 م دانسته‌اند (زوتر، 58)، اگر رسالۀ یادشده را مربوط به اواخر زندگی خازن، و اثبات خجندی را مربوط به دورۀ جوانی‌اش بدانیم، پس باید تولد خجندی را در 340 ق / 951 م، و یا پیش از آن فرض کنیم. محل تولد او نیز روشن نیست؛ اما از نسبتش به خجند (ه‍ م) می‌توان گفت که خود یا اجدادش برخاسته از آن دیار بوده‌اند. 
خجندی در 384 ق / 994 م، بیشینۀ میل دایرةالبروج (میل کلی) و عرض جغرافیایی ری را اندازه‌گیری کرده‌است و پس از آن، مشغول رصد سیارات برای تدوین زیجی به نام «زیج فخری» بوده است (خجندی، «رسالة ... »، 62؛ عبدالله‌زاده و نعمت‌اف، 84)؛ اما احتمالاً تدوین این زیج ناتمام مانده‌است (نک‍ : دنبالۀ مقاله). از آن سال به بعد، دیگر اطلاعی از فعالیتهای او در دست نیست؛ ازاین‌رو، زوتر (ص 74) درگذشت او را حدود سال 390 ق دانسته است. به جز ری، از دیگر شهرهایی که خجندی در آنها تحصیل و یا زندگی کرده، اطلاعی در دست نیست؛ ولی از اینکه او اسطرلابی برای عرض جغرافیایی بغداد در تاریخ 374 ق / 984 م ساخته است (کینگ، II / 505-515)، می‌توان احتمال داد که رفت‌و‌آمدی به آنجا داشته‌است. 

 

هم‌عصران خجندی، او را به سبب نبوغ و مهارتش در ساخت ابزارهای نجومی، به‌ویژه انواع اسطرلاب، تحسین کرده‌اند؛ ازجمله، ابوریحان بیرونی که او را با عبارت «یگانۀ عصر خویش در ساخت اسطرلابها و دیگر ابزارها» می‌ستاید («تحدید ... »، 107). تنها اسطرلاب برجای مانده از او که اتفاقاً مهم‌ترین و زیباترین ابزار نجومی برجای مانده از سده‌های نخست تمدن اسلامی است، اکنون در مجموعه‌ای شخصی در دوحه، پایتخت قطر، نگهداری می‌شود (کینگ، II / 503-504). کینگ تزییناتِ به‌کار رفته در این اسطرلاب، یعنی تصویر سر دو گربه‌سان و 6 پرنده، را آغازگر سنتی می‌داند که در آن، اسطرلاب‌سازان از تصویر سر حیوانات برای آرایش اجزاء اسطرلاب استفاده می‌کرده‌اند (II / 505-511). شاهد دیگری بر شهرت این اسطرلاب آن است که 151 سال پس از ساخت آن، یعنی در 525 ق / 1131 م، شخصی به نام بدر بن عبدالله ‌‌ــ غلام هبةالله بدیـع اسطرلابـی ــ نمونـۀ مشابهی از روی ایـن اسطرلاب ساخته است که اکنون در شیکاگو نگهداری می‌شود (همو، II / 34؛ نک‍ : تصویر 1). 
احتمالاً کاردانی خجندی در زمینۀ ابزارسازی و نجوم رصدی، راه را برای حضور او در دربار فخرالدولۀ دیلمی (حک‍ 366-387 ق / 977-997 م) در ری هموار کرده است. او تحت حمایتهای فخرالدوله درپی اندازه‌گیری دقیق میل کلی (زاویۀ بین دایرةالبروج و استوای سماوی) و عرض جغرافیایی ری برآمد. بدین‌منظور، ابزار بسیار بزرگی طراحی کرد و بر فراز کوهی در شمال ری و نزدیک به آن، موسوم به طَبَرَک (بیرونی، همان، 101-102؛ یاقوت، بلدان، 3 / 507) برپا ساخت و آن را به افتخار فخرالدوله «سُدس فخری» خواند (نک‍ : دنبالۀ مقاله). خجندی با این ابزار در 384 ق / 994 م، میل کلی دایرةالبروج را 21,32;23 (مقدار دقیق میل کلی در آن زمان: 11,34;23) به دست آورد (نک‍ : «رسالة»، 67؛ عبدالله‌زاده و نعمت‌اف، 90). او در رسالة فی تصحیح المیل و عرض البلد با تفاخر، از دقت بالای اندازه‌گیری میل کلی سخن گفته (همانجاها)، و آن را با نتایج هندیان (0;24)، بطلمیوس (51;23) و مؤلفان زیج ممتحن (35;23) مقایسه کرده و نظر پیشینیان خود، ثابت بن قره (د 288 ق / 901 م) (اونز، 276-277)، ابراهیم بن سنـان (د 335 ق / 946 م) («دائرةالمعارف ... »، 574) و ابوجعفر خازن (د ح 360 ق / 971 م) (همان، 629)، را در افزایش و کاهش بسیار کند میل کلی تأیید کرده است (خجندی، همانجا؛ عبدالله‌زاده و نعمت‌اف، 91). 
پس از مدتی، خجندی خود متوجه اشکالی در ساختمان سدس فخری شده، و در دیدار با بیرونی تصریح کرده است که روزنۀ سدس فخری به اندازۀ یک وجب در فاصلۀ انقلاب تابستانی و انقلاب زمستانی نشست کرده، و باعث خطا در رصد و اندازه‌گیری ارتفاع خورشید شده است (نک‍ : بیرونی، «تحدید»، 107- 108). بیرونی می‌گوید که خجندی تمایلی به اصلاح ابزار و تجدید رصد نداشته است (همانجا). با استفاده از این شاهد، بیرونی نظر خجندی 
در مورد کاهش میل کلی را رد می‌کند و نشان می‌دهد که چگونه فروافتادن روزنۀ سدس باعث خطا در اندازه‌‌گیری میل کلی می‌شود (همان، 108- 109). در مورد اختلاف در نتیجۀ دیگر رصدها نیز بیرونی عامل اصلی را اختلاف در آلات رصد، و جز آن می‌داند (همان، 116). 
دیگر منجمان بزرگ پس از بیرونی نیز نظر خجندی را نپذیرفته‌اند؛ مثلاً نصیرالدین طوسی (ص 123) و قطب‌الدین شیرازی (گ 28 ر- 28 پ) دلایل متعددی برای ممکن نبودن کاهش میل کلی آورده‌اند. با وجود این، تحقیقات جدید، تغییر در میل دایرةالبروج را تأیید می‌کند. بر این اساس، میل کلی دایرةالبروج بین 55;21 و 58;24 به کندی در نوسان است (میتون، 271) و در ابتدای سال 1394 ش، مقدار آن برابر با 14,26;23 است. 
خجندی می‌گوید که پس از محاسبۀ میل کلی و عرض ری ‌در 384 ق، به کمک دیگر ابزارهای ساخت خودش، از‌جمله ذات ‌الحَلَق، به رصد سیارات مشغول بوده، و قصد داشته است که بر مبنای این رصدها زیجی به نام «زیج فخری» تدوین کند («رسالة»، 62). این زیج یا تدوین نگشته، و یا تاکنون اثری از آن یافت نشده است، اما زیج ناقص دیگری در کتابخانۀ مجلس شورای اسلامی به شمارۀ 181 موجود است که ظاهراً بر پایۀ نتایج رصدی خجندی محاسبه و تألیف شده است (کِنِدی، «بررسی ... »، 133). کندی با استفاده از مقادیر حرکت وسط سیارات در این زیج، زمان نگارش آن را حدود 200 سال پس از خجندی تخمین زده است (همانجا). ابوالحسن علی بن احمد نسوی (393-472 ق / 1003- 1079 م) در کتاب اللامع فی امثلة الزیج الجامع (گ 59 ر) می‌گوید: خجندی در «رصد فخری» طول جغرافیایی ری را 15;83 به دست آورده است. اگر منظور نسوی رصد با سدس فخری باشد، ادعای گزافی ‌است، چون با سدس فخری نمی‌توان طول جغرافیایی را اندازه گرفت؛ و اگر مرادش رصدهایی برای تدوین زیج فخری باشد، در آن صورت می‌توان گفت که نتایج برخی از رصدها و محاسبات او در دورۀ نسوی، یعنی مدتها پیش از تدوین زیج موجود در کتابخانۀ مجلس، در دسترس بوده است (نیز نک‍ ‍: زمانی، 132-137). 
جالب است که ابوریحان بیرونی با آنکه به ری سفر کرده، و با خجندی دیدار نموده، و گزارشهایی جامع دربارۀ ساختمان و روش استفاده از سدس فخری نوشته (نک‍ ‍:‍ دنبالۀ مقاله)، از دیگر فعالیتهای نجومی بر کوه طبرک سخنی به میان نیاورده‌است. اما صاییلی (ص120-121) از همین اطلاعات اندک، نتیجه گرفته است که خجندی صاحب رصدخانه‌ای بر آن کوه بوده‌است.
اگرچه عمدۀ فعالیتهای خجندی در حوزۀ ابزارسازی و نجوم رصدی است، اما او در مسائل نجوم نظری نیز تبحر داشته‌است. ابونصر منصور بن عراق (ه‍ م) (ص 3- 9)، و بیرونی ( استیعاب ... ، 56-57) دو روش برای رسم دایره‌های سمت روی صفحۀ اسطرلاب از او نقل کرده‌اند که برگرن آنها را تحلیل کرده‌است («روشها ... »، 320-324). 
خجندی در ریاضیات نظری نیز منشأ اثر بوده‌است، و این به سبب نقشی است که او در کشف رابطه‌ای منتج از «شکل مُغنی» (قضیۀ سینوسها) و در نتیجه، در تکوین دانش مثلثات داشته‌است. بیرونی در مقالید علم الهیئة (ص 99 -103) خجندی را صاحب اثری دربارۀ محاسبات مربوط به شب از روی ستارگان ثابت (فی اعمال اللیل بالکواکب الثابتة) دانسته (نک‍ ‍: دنبالۀ مقاله)، و گفته است که خجندی در آن رابطه‌ای منتج از شکل مُغنی ( ) را از راهی طولانی به دست آورده، و آن را «قانون هیئت» نامیده است. به گفتۀ بیرونی، خجندی همۀ محاسباتش را در این کتاب با استفاده از این رابطه انجام داده است. از میان کسانی که کشف این رابطه به ایشان نسبت داده شده است، ابوریحان فضل تقدم را از آنِ ابونصر منصور بن عراق می‌داند و روش ابوالوفا بوزجانی را برگرفته از روش ابونصر، و دستاوردهای ابوالوفا را در مقایسه با کار او ناچیز می‌شمارد. اما به نظر می‌رسد ابوالوفا نخستین کسی باشد که شکل مغنی را صورت‌بندی کرده باشد و باید داوری بیرونی را در این زمینه جانب‌دارانه تلقی کرد. البته بیرونی به‌درستی متذکر شده است (همان، 145) که خجندی و کوشیار گیلانی دقیقاً به این رابطه نرسیده‌اند. 

سُدس فخری

سدس فخری ابزاری بوده است متشکل از   دایره‌ای به قطر 80 ذراع (ح 40 متر) برای رصد خورشید. خجندی ساخت این ابزار را باید در حدود بهار 384 ق تمام کرده باشد؛ زیرا نخستین گزارش رصدی خجندی با این ابزار به اول تیرماه همان سال باز می‌گردد (نک‍ : «رسالة»، 62). ابوریحان بیرونی چندی بعد، احتمالاً حدود سال 385 ق (نک‍‌ : «زندگی‌نامه ... »، II / 148)، این ابزار را از نزدیک مشاهده کرده، و دربارۀ آن با خجندی گفت‌وگو کرده‌است. نوشته‌های بیرونی دربارۀ سدس فخری منبع اصلی شناخت ما از این ابزار است. او در «تحدید نهایات الاماکن» (ص 101-102) روش کار ابزار را به اختصار توضیح داده، و در رساله‌ای موسوم به «حکایة الآلة المسماة السدس الفخری» (ص 68- 69)، شرحی کامل‌تر از آن را آورده است. بیرونی می‌گوید که خجندی برای تهیۀ این ابزار دو دیوار موازی در جهت نصف‌‌النهار به فاصلۀ 7 ذراع (ح 5 / 3 متر) ساخت؛ بر قسمت جنوبی دیوارها طاقی بنا کرد و روزنه‌ای به قطر یک وجب (ح 20 سانتی‌متر) روی آن تعبیه کرد، به‌طوری‌که ارتفاع آن سوراخ تا سطح زمین 20 ذراع شود. درست زیر سوراخ 
را 20 ذراع دیگر گود کرد و از همان‌جا   دایره‌ای به مرکز روزنه، و به شعاع 40 ذراع به سمت شمال ایجاد کرد و سطح کمان ایجاد‌شده را با ورقهای برنجی مدرج پوشاند. کل سدس را به °60 و هر درجه را به 360 قسمت تقسیم کرد تا دقت دستگاه 10 ثانیه شود. بدین‌ترتیب، به هنگام عبور خورشید از صفحۀ نصف‌‌النهار در لحظۀ ظهر حقیقی، شعاعهای خورشید را بر روی صفحۀ سدس می‌توان مشاهده کرد و از آن، ارتفاع نصف‌النهاری خورشید را به دست آورد (نک‍ : تصویر 2). 
برتری سدس فخری بر دیگر ابزارهای مشابه را می‌توان در دو ویژگی خلاصه کرد: نخست آنکه به هنگام رصد با آن لازم نیست به صورت مستقیم به خورشید نگاه کرد و دیگر آنکه ابعاد بسیار بزرگ ابزار درجه‌بندی آن را دقیق‌تر کرده است. هر دو عامل سبب افزایش دقت در اندازه‌گیری می‌شود (همان دو، 63). ایراد دستگاه نیز همان است که بیرونی به نقل از خود خجندی گفته است («تحدید»، 107- 108). 

ابوعلی حسن بن علی بن عمر مراکشی (فعال در ح 680 ق / 1281 م) در جامع المبادئ و الغایات فی علم المیقات (ص 110-111) روش ساخت و کار با سدس فخری را شرح داده‌است. سدیو متن عربی این بخش از رسالۀ مراکشی را بازنویسی، ترجمه و شرح (I / 248-252)، و ابوالقاسم قربانی آن را به فارسی ترجمه کرده است (ریاضی‌دانان ... ، 165-166). توصیف مراکشی همانند بیرونی است، به‌جز در دو مورد: قطر روزنۀ طاق، و دقت ابزار. مراکشی این دو را به‌ترتیب،   ذراع (ح 9 سانتی‌متر) و 6 ثانیه گفته است، در‌حالی‌که بیرونی پیش از او، آن دو را به‌ترتیب یک وجب (ح 20 سانتی‌متر) و 10 ثانیه بیان کرده است. به نظر می‌رسد منشأ اختلاف نه بی‌دقتی یا اشتباه مراکشی، که اتکا به منبعی غیر از نوشته‌های بیرونی بوده‌است (نک‍ ‍: دنبالۀ مقاله). 
غیاث‌الدین جمشید کاشانی نیز با اندکی اختلاف نسبت به بیرونی، شرحی از سدس فخری در رسالۀ شرح آلات رصد آورده است (نک‍ : کندی، «رساله ... »2، 101-102؛ فقیه، 291). غیاث‌الدین کاشانی حدود 170 سال پس از ساخت رصدخانۀ مراغه، ابزار مرکزی آن را نیز سدس فخری خوانده است (باقری، 41)؛ اما، نظام‌الدین اعرج نیشابوری در رسالۀ توضیح التذکرة در 711 ق / 1311 م می‌گوید که پس از خجندی تا زمان او کسی از سدس فخری استفاده نکرده است (ص 104). به‌هر‌حال، این ابزار هرچه بوده، مسلماً تحت تأثیر سدس فخری ساخته شده بوده، و پس از آن، در رصدخانۀ سمرقند نیز ابزار مرکزی سدس فخری بوده‌است (باقری، همانجا؛ نیز نک‍ ‍: صاییلی، 197-199). 

آثـار  

1. رسالة فی تصحیح المیل و عرض البلد

خجندی در این رساله شرح رصدهای خود را به منظور تعیین اندازۀ دقیق میل کلی (ε) و عرض جغرافیایی ری (φ) آورده است (ص 62). او شرح می‌دهد که چگونه به وسیلۀ سدس فخری، ارتفاع نصف‌النهاری خورشید را در دو انقلاب تابستانی (h1) و زمستانی (h2) در 384 ق اندازه‌گیری کرده‌است؛ در‌حالی‌که گروهی از بزرگان و اهل فن ناظر رصد بوده‌اند و نتایجش را تأیید کرده‌اند (ص 62-63؛ برای ماجرایی مشابه در رصدهای ابوسهل کوهی، نک‍‍‍ : قفطی، 351؛ صاییلی، 120). خجندی با استفاده از رابطه‌های   =ε و  =90.φ میل دایرةالبروج را 21,32;23 (مقدار دقیق میل کلی در آن زمان: 11,34;23)، و عرض ری را 45 ,38,34;35 (مقدار جدید برای شهر ری: 54,40,35;35) به دست آورده است (ص 66). خجندی مقدار عرض را به جای ری، به محمدیه نسبت داده است و محمدیه نامی است که مهدی خلیفۀ عباسی به ری داده بود (یاقوت، بلدان، 4 / 431). برخی به اشتباه، آن را نام محله‌ای در ری و یا باروی ری فرض کرده‌اند (نک‍ : عبدالله‌زاده، 212؛ همو و نعمت‌اف، 90). 
نسخۀ منحصر ‌به ‌فردی از این رساله در کتابخانۀ دانشگاه سن‌ژوزف بیروت در اوایل قرن 20 م موجود بوده‌است (نک‍ : GAL, S, I / 390) و متن آن را لویس شیخو در مجلۀ المشرق منتشر کرده است (نک‍ : مآخذ). گویا این نسخه پس از جنگ جهانی اول ناپدید شده است (عبدالله‌زاده و نعمت‌اف، 25). این رسالۀ خجندی را شیرمر (ص 63-79) به آلمانی، عبدالله‌زاده و نعمت‌اف به روسی، و مظفرزاده (نک‍ : عبدالله‌زاده ونعمت‌اف، 84 -91) به فارسی ترجمه کرده‌اند (نیز نک‍ : ویدمان، I / 406-408؛ صاییلی، 118-121). 

2. کتاب صنعة الآلة الشاملة و العمل بها

این کتاب متشکل از 5 مقاله دربارۀ ابزاری به شکل نیم‌کره برای مقاصد نجومی است. برخی آن را بـا کتاب الآلة العامة یکی دانسته‌اند (نک‍ ‍: GAL, S، همانجا؛ روزنفلد، 100). برخلاف برخی ابزارهای علمی دورۀ اسلامی، اطلاعات تاریخی گواه ساخته شدن نمونه‌هایی از آلت شامله تا اوایل قرن 6 ق است. با آنکه خجندی در مقدمۀ همین کتاب می‌گوید که ابتدا نمونه‌ای از آلت شامله را ساخته، و سپس کتاب را دربارۀ روش ساخت و کاربردهای آن تألیف کرده است (گ 2 ر-3 ر)، و می‌دانیم که دست‌کم 3 نمونۀ اصلاح‌شدۀ آلت شامله نیز به دست بدیع اسطرلابی ساخته شده (نک‍ : دنبالۀ مقاله)، با این حال، تاکنون نمونه‌ای از آن یافت نشده است (برای نسخه‌های خطی رسالۀ خجندی، نک‍ ‍: روزنفلد، همانجا؛ نیز GAS, VI / 221). 
خجندی در ابتدای این اثر می‌گوید: ندیده‌ام و نشنیده‌ام که پیشینیان ابزاری جامع ساخته باشند که کار با آن، ما را از دیگر ابزارهای اندازه‌گیری نجومی چون اسطرلابها، ساعتهای آفتابی و ذات الحَلَقها بی‌نیاز کند؛ لذا بر آن شدم که چنین ابزاری ابداع کنم (گ 2 ر). او ادعا می‌کند که این ابزار جامع (آلت شامله) برتریهایی نیز دارد، زیرا ابزارهای پیشین یا قادر به انجام برخی از محاسبات نبودند و یا خطای زیادی در نتایج محاسباتشان عارض می‌شد؛ ولی این کاستیها از ابزار جامع به دور است (گ 2 پ). خجندی می‌گوید: چند سال پس از تألیف کتاب متوجه خطایی در آن شده است (گ 3 ر). او مدعی است که سبب پیدا شدن خطا، کوچکی ابزاری بوده که او کتاب را بر مبنای آن نوشته است. او پس از اصلاح کتابش، در بسیاری از جایها، عباراتی روشن‌تر و ساده‌تر به کتاب افزوده، و آن را نسخۀ دوم نام نهاده است (همانجا).
آلت شامله از یک نیمکرۀ توخالی و یک «صفیحه» به شعاع داخلی همان نیمکره تشکیل شده است. لبۀ نیمکره معادل افق ناظر است و صفیحه با یک پایه چنان به سطح داخلی نیمکره متصل می‌شود که مرکز آن منطبق بر مرکز نیمکره، و زاویۀ آن با لبۀ نیمکره به اندازۀ زاویۀ دایرةالبروج با افق مورد نظر باشد. بدین‌ترتیب، نیمکره نمایانگر بخش زیرین کرۀ سماوی، و صفیحه معرف دایرةالبروج است. زاویۀ صفیحه با افق ثابت است، اما آن را از پایه می‌توان جدا کرد و با عِضاده‌ای که روی آن نصب است، چون پشت اسطرلاب از آن استفاده کرد. درون نیمکره، دایره‌هایی موازی با افق و عمود بر آن، یعنی مقنطرات انحطاط و خطهای سمت، رسم می‌شوند. نیمکره نیز بر روی کرسی قرار می‌گیرد تا ابزار به‌راحتی در راستای نصف‌النهار تنظیم و قابل استفاده شود. محاسبات نجومی با آلت شامله در مختصات افقی (سمت و ارتفاع) صورت می‌گیرد و تقریباً همۀ کاربردهای اسطرلاب، ربع و کرۀ سماوی را دارا ست. 
مشخص است که این ابزار، مانند اسطرلابهای ابتدایی، تنها برای یک عرض جغرافیایی خاص قابل استفاده است. قفطی (ص 339) و یاقوت حموی ( ادبا، 19 / 273-274) مدعی شده‌اند که خجندی خود به این نقص معترف بوده، و دلیل اقامه کرده‌است که این ابزار برای «عروض متعدده نمی‌تواند باشد». این گفته چندان دقیق نیست؛ زیرا خجندی مقالۀ پنجم رساله‌اش را به «روش استفاده از ابزار در شهرهایی با عرضهای مختلف» اختصاص داده است (گ 72 پ-97 ر). پیدا ست که با تغییر عرض جغرافیایی، زاویۀ بین لبۀ نیم‌کره (دایرۀ افق) با صفیحه (دایرةالبروج) تغییر می‌کند، ولی طراحی خجندی به گونه‌ای است که این زاویه ثابت است. بنابراین، تعدادی از دایره‌ها، خطها و نقاط حک‌شده بر ابزار ــ ازجمله دایره‌های افق، مقنطرات، خطهای سمت، ساعتهای زمانیه و نقطۀ سمت‌القدم و غیر آنها ــ باطل می‌شوند (گ 72 پ). برای رفع این نقص، خجندی دو راه پیشنهاد می‌کند: یکی آنکه خطوطِ یاد‌شده را متناسب با عرض جغرافیایی جدید با جوهر داخل نیمکره رسم کنیم (همانجا)؛ و یا آنکه برای هر عرض دلخواه نیمکره‌ای بسازیم و بر روی آن دایره‌ها و خطها را مطابق آن عرض حک کنیم (گ 73 ر) و همچون صفیحه‌های اسطرلاب از آنها استفاده کنیم. 
بدیع اسطرلابی در مقدمۀ کتاب العمل بالکرة (گ 3 پ-4 ر) هر دو پیشنهاد خجندی را فاقد ارزش عملی می‌داند. او می‌گوید که رسم دایره‌ها و خطهای مورد نظر با جوهر و تنظیم ابزار برای عرض جدید افزون بر آنکه کار صعب و دشواری است، ثبات چندانی روی نیمکره ندارد و به‌راحتی از روی ابزار محو می‌گردد. استفاده از نیمکره‌های متعدد نیز راه‌گشا نیست، چون کار با یک نیمکره به اندازۀ کافی دشوار است، چه رسد به چندین نیمکره. او در ضمنِ تألیف تکمله‌ای بر رسالۀ خجندی، پیشنهادی ساده و در عین حال کارساز برای اصلاح و ساده‌سازی آلت شامله دارد («الاتمام»، گ 31 ر- 35 پ). براین اساس، اگر از نقطۀ سمت‌القدم تا لبۀ نیمکره، شیاری در راستای دایرۀ نصف‌النهار ایجاد کنیم، به شکلی که پایۀ صفیحه داخل این شیار بتواند تغییر مکان بدهد و در هر زاویۀ دلخواه به نیمکره چفت شود، در آن صورت زاویۀ صفیحه را با لبۀ نیمکره از صفر تا °90 می‌توان تغییر داد و در نتیجه، ابزار را برای هر عرض جغرافیایی دلخواه تنظیم کرد (همانجا). 
بدیع اسطرلابی افزوده‌هایی نیز بر آلت شامله دارد؛ ازجمله، نیم‌دایره‌ای در درون نیمکره که معرف نیمی از دایرۀ معدل‌النهار در زیر افق است و زاویۀ آن با دایرۀ افق قابل تغییر و تنظیم است (همان، گ 32 پ). اگر صفیحه را در سطح این نیم‌دایره تنظیم کنیم، می‌توانیم با استفاده از عضادۀ روی صفیحه، مختصات اجرام سمـاوی را روی دایـرۀ معـدل‌النهـار و در دستگـاه میـل ـ بعـد اندازه‌گیری کنیم. از گزارش بدیع اسطرلابی در مقدمۀ کتاب العمل بالکرة (گ 4 ر) چنین برمی‌آید که وی تا پیش از سفر خیام به بغداد، دو نمونه از این ابزار ساخته بوده‌است و به دلیلی، مجبور شده نمونۀ دیگری از جنس سرب برای خیام بسازد و خیام پس از بررسی ابزار، ابداعات و تصرفات بدیع اسطرلابی را در حضور خود او تأیید کرده‌است (نیز نک‍ ‍: روزنتال، 557-558). متأسفانه از نمونه‌های ساخته‌شدۀ این ابزار تاکنون چیزی به دست ما نرسیده است، اما چندین نسخۀ خطی از رسالۀ صنعة الآلة الشاملة و العمل بها باقی ‌مانده است که دست‌کم نسخه‌ای از آن به خط بدیع اسطرلابی، و حاوی تکملۀ او‌‌ ست (نک‍ ‍: GAS, VI / 221).
 
زندگی‌نامه‌نویسان نزدیک به عصر بدیع اسطرلابی، همچون قفطی (ص 339) و یاقوت حموی ( ادبا، 19 / 273-274)، این ابتکار را بر تبحر و فضل او حمل کرده‌اند و او را با عباراتی پرطمطراق ستوده‌اند؛ اما برخی پژوهشگران معاصر، همچون سارتن این ستایشها را نشانۀ کم‌اطلاعی این زندگی‌نامه‌نویسان از مسائل نجومی دانسته‌اند (II / 204). 
مراکشی در جامع المبادئ و الغایات فی علم المیقات آلت شامله را بر پایۀ توضیحات بدیع اسطرلابی وصف کرده است (ص 14- 19). سدیو این بخش از کار مراکشی را به اختصار شرح کرده است (I / 194-195). مؤلفی ناشناس نیز بر اساس گفته‌های مراکشی، توصیفی از چند ابزار نجومی در 19 باب آورده است (نک‍ ‍: آلوارت، شم‍ 5857). فرانک نشان داده‌است که باب پنجم آن رساله، دربارۀ آلت شامله است، ولی آلوارت نام آن را اشتباه ضبط کرده است (ص 63). سزگین برمبنای این دو متن، ابزار را بازسازی کرده است (II / 151-152؛ نک‍ : تصویر 3). 

3. کتاب فی ساعات الماضیة من اللیل

 حسام‌الدین سالار از این اثر در مقدمۀ جامع قوانین علم الهیئة (گ 1 پ؛ معصومی، 100) یاد کرده است. این کتاب احتمالاً همان اثری است که بیرونی از آن به صورتِ فی اعمال اللیل بالکواکب الثابتة (دربارۀ محاسبات مربوط به شب از روی ستارگان ثابت) یاد کرده‌است. همان‌گونه که پیش‌تر نیز اشاره شد، بنا ‌به نظر بیرونی، خجندی در این اثر قضیه‌ای منتج از شکل مُغنی ( ) را ثابت کرده، و آن را «قانون هیئت» خوانده است (مقالید، 101). بیرونی در کتاب مقالید علم هیئة اثباتی از خجندی برای این قضیه آورده (ص 138-141) که احتمالاً برگرفته از همین اثر خجندی است. از این رساله تاکنون نسخه‌ای به دست نیامده است. 

4. کتاب سمت القبلة

 نسخه‌ای از این کتاب در دست نیست، اما بیرونی به آن دسترسی داشته، و در رسالۀ فی تسطیح الصور و تبطیح الکور (برگرن، «بیرونی ... »، 91) به آن اشاره کرده است (نیز نک‍ ‍: روزنفلد، 101). 

5. الصفیحة الآفاقیة

نسخه‌ای از آن در دست نیست، اما حاجی‌خلیفه در کشف ‌الظنون از آن نام برده‌است (1 / 875). به گفتۀ او، این رساله دربارۀ ساخت (و احتمالاً کاربرد) نوع خاصی از صفیحه‌های اسطرلاب، متناسب برای همۀ عرضهای جغرافیایی، معروف به آفاقیه یا جامعه بوده‌است. حاجی‌خلیفه نسخه‌ای از این رساله را در 60 باب دیده بوده است، اما شاید نتوان به گفتۀ او اعتماد کرد؛ زیرا وی رساله‌ای به نام کتاب العمل بالزرقالة دربارۀ روش کار با ابزاری به نام زرقاله را به خجندی نسبت داده است (2 / 1441)، در‌حالی‌که اسطرلابی به همین نام، از اختراعات ابراهیم بن یحیى زرقالی (د 493 ق / 1100 م) بوده که پس از خجندی می‌زیسته‌است (نیز نک‍ : روزنفلد، 100). چون نسخه‌ای از این دو اثر باقی‌نمانده و منابع نزدیک‌تر به دورۀ خجندی نیز در این‌باره اطلاعی به دست نمی‌دهند، محتمل‌تر آن است که حاجی‌خلیفه و یا کاتبان این نسخه‌ها در انتساب این دو رساله به خجندی اشتباه کرده باشند. 

6. رساله‌ای ریاضی دربارۀ «مجموع مکعبهای دو عدد گویا»

ابوجعفر خازن در آغاز رساله‌ای که موضوع آن یافتن ریشه‌های صحیح و مثبت معادلۀ x2+y2=z2 است، گفته‌است که در جای دیگری ثابت کرده است که روش خجندی برای یافتن ریشه‌های این معادله کلیت ندارد، و نیز برهان او بر اینکه معادلۀ x3+y3=z3 ریشه‌های صحیح و مثبت ندارد، نادرست است (گ 86 پ). برهان خجندی در این‌باره و نیز نقد خازن بر او به دست ما نرسیده است؛ اما رسالۀ کوتاهی با عنوان «برهان هندسی شیخ ابوجعفر» موجود است که مشتمل بر اثباتی هندسی برای ریشۀ صحیح و مثبت نداشتن معادلۀ x3+y3=z3 است (نک‍ ‍: راشد، 223-224). چون این برهان نیز نادرست است، راشد احتمال داده است که یا این 
رساله از ابوجعفر خازن نیست، یا همان برهان نادرست خجندی است که خازن آن را نقل کرده، و دیگری به غلط، آن را از خود خازن دانسته است و یا خازن نیز مانند خجندی نتوانسته است برهان درستی برای این قضیه ارائه کند (همو، 220-222؛ نیز نک‍ : ووپکه، 301-302؛ قربانی، زندگی‌نامه ... ، 233-234). با‌این‌حال، توجه خجندی به این مسئله و کوشش او برای اثبات آن بر مقام بلند او در ریاضیات دلالت دارد. درواقع، نخستین بار در قرن 16 م / 10 ق ریاضی‌دان بزرگ فرانسوی پیر فرما ثابت کرد که معادلۀ x3+y3=z3 جواب صحیح و مثبت ندارد. 

7. اثباتی دیگر از قضیۀ سینوسها

در رسالۀ مجهول‌المؤلفی با عنوان «مسائل متفرقة هندسیة» در کتابخانۀ خدیویۀ مصر، اثباتی از قضیۀ سینوسها، متفاوت با گفتۀ بیرونی (نک‍ : مقالید، 138-141)، به خجندی منسوب شده‌است (نک‍ ‍: شوی، II / 260-263). برخی گمان کرده‌اند که این رساله نوشتۀ خجندی است (نک‍ : قربانی، همان، 232-233)، ولی دبارنو2 نشان داده است که این متن روایتی از اثبات کوشیار بن لبان را تقریباً کلمه به کلمه از مقالید علم الهیئة بیرونی نقل کرده است (ص 138-141) و تنها اختلافش با آن، علائم اختصاری‌اش است (ص 142-145). 

مآخذ

ابوجعفر خازن، «رسالة الشیخ ابی‌جعفر محمد بن الحسین الى ابی محمد عبدالله بن علی الحاسب فی انشاء المثلثات القائمة الزوایا المنطقة الاضلاع و المنفعة فی معرفتها»، نسخۀ خطی کتابخانۀ ملی پاریس، شم‍ 20 / 457‘2؛ ابونصر منصور بن عراق، «دوائر السمٰوات فی الاسطرلاب»، رسائل ابی نصر منصور بن عراق الی البیرونی، به کوشش زین‌العابدین موسوی، حیدرآباد دکن، 1367 ق / 1948 م؛ باقری، محمد، از سمرقند به کاشان: نامه‌های غیاث‌الدین جمشید کاشانی به پدرش، تهران، 1375 ش؛ بدیع اسطرلابی، هبةالله، الاتمام فی کتاب الآلة الشاملة، نسخۀ خطی کتابخانۀ دانشگاه بیرمنگام انگلستان، شم‍ 560؛ همو، کتاب العمل بالکرة، نسخۀ خطی کتابخانۀ بادلیان آکسفرد، شم‍ 7 / 663؛ بیرونی، ابوریحان، استیعاب الوجوه الممکنة فی صنعة الاصطرلاب، به کوشش محمد‌اکبر جوادی حسینی، مشهد، 1380 ش؛ همو، «تحدید نهایات الاماکن»، به کوشش پ. بولگاکوف، مجلة الجغرافیا الاسلامیة، به کوشش فؤاد سزگین، فرانکفورت، 1413 ق / 1992 م، ج 25؛ همو، «حکایة الآلة المسمّاة السدس الفخری»، همراه «رسالة الخجندی فی المیل و عرض البلد» ابومحمود حامد بن خضر خجندی، المشرق، به کوشش لویس شیخو، بیروت، 1908 م، س 11، شم‍‍ 1؛ همو، مقالید علم الهیئة (نک‍ : مل‍ ، دبارنو)؛ حاجی‌خلیفه، کشف‌؛ حسام‌الدین سالار، جامع قوانین علم الهیئة، نسخۀ خطی شم‍ 1 / 343‘3، کتابخانۀ احمد سوم، توپکاپی‌سرای، استانبول؛ خجندی، حامد، «رسالة فی تصحیح المیل و عرض البلد»، المشرق، به کوشش لویس شیخو، بیروت، 1908 م، س 11، شم‍ 1، ص 62- 68؛ همو، کتاب صنعة الآلة الشاملة و العمل بها، نسخۀ خطی کتابخانۀ حراچجی‌اوغلو بورسا در ترکیه، شم‍ 217‘1؛ زمانی، مریم، «ویرایش، ترجمه و شرح چهار فصل اول از رسالۀ اللامع فی امثلة الزیج الجامع علی نسوی»، پایان‌نامۀ کارشناسی ارشد تاریخ علم، دانشگاه تهران، 1392 ش؛ عبدالله‌زاده، خورشید ف.، «خجندی»، دانشنامۀ جهان اسلام، تهران، 1390 ش، ج 15؛ همو و نعمان ن. نعمت‌اف، «خجندی‌نامه»، ترجمۀ باقر مظفرزاده، به کوشش غلامحسین صدری افشار و محمد باقری، ضمیمۀ 26 آینۀ میراث، تهران، 1391 ش؛ فقیه‌عبدالٰلهی، حسن، «بررسی شرح آلات رصد نوشتۀ غیاث‌الدین جمشید کاشانی»، تحقیقات اسلامی، 1374 ش، س 10، شم‍ 1-2؛ قربانی، ابوالقاسم، ریاضی‌دانان ایرانی، تهـران، 1350 ش؛ همو، زندگی‌نامۀ ریاضی‌دانان دوران اسلامی، تهران، 1365 ش؛ قطب‌الدین شیرازی، محمود، اختیارات مظفری، نسخۀ خطی کتابخانۀ ملی، شم‍ 5 / 047‘ 13؛ قفطی، علی، تاریخ الحکماء، به کوشش یولیوس لیپرت، لایپزیگ، 1903 م؛ مراکشی، حسن، «جامع المبادئ و الغایات فی علم المیقات»، مجموعة رسائل عربیة فی علم الفلك و الریاضیات، چ عکسی، به کوشش فؤاد سزگین، فرانکفورت، 1984 م / 1405 ق، ج 1(2)؛ معصومی همدانی، حسین، «حسام‌الدین سالار و جامع قوانین علم الهیئة او»، تاریخ علم، تهران، 1389 ش، شم‍ 9؛ نسوی، علی، اللامع فی امثلة الزیج الجامع، نسخۀ خطی شم‍ 7 / 45 از مجموعۀ اسمیت دانشگاه کلمبیا؛ نصیرالدین طوسی، التذکرة فی علم الهیئة (نک‍ : مل‍ ، رجب) ؛ نظام اعرج، حسن، توضیح التذکرة، نسخۀ خطی کتابخانۀ مجلس شورای اسلامی، شم‍ 788؛ یاقوت، ادبا؛ همو، بلدان؛ نیز: 

Ahlwardt ; Berggren, J. L., «Al-Bīrūnī on Plane Maps of the Sphere», Journal for the History of Arabic Science, Aleppo, 1982, vol. VI, nos. 1, 2; id, «Medieval Islamic Methods for Drawing Azimuth Circles on the Astrolabe», Centaurus, 1991, vol. XXXIV; Biographical Encyclopedia of Astronomers, Springer, 2005; Debarnot, M. Th., tr. and notes on Kitāb Maqālīd ª Ilm al. Hayºa of Al-Bīrūnī, Damascus, 1985; Dictionary of Scientific Biography, ed. Ch. C. Gillispie, New York, 1975-1981; Evans, J., The History and Practice of Ancient Astronomy, Oxford / New York, 1998; Frank, J., «Über zwei astronomische arabische Instrumente», Islamic Mathematics and Astronomy, ed. F. Sezgin, Frankfurt, 1998, vol. XXCVIII; GAL, S; GAS; Kennedy, E. S., «Al-Kāshī’s Treatise on Astronomical Observational Instruments», Journal of Near Eastern Studies, eds. K. C. Seele et al., Chicago, 1961, vol. XX, no. 2; id, «A Survey of Islamic Astronomical Tables», Transactions of the American Philosophical Society, Philadelphia, 1956, vol. XLVI(2); King, D. A., In Synchrony with the Heavens: Studies in Astronomical Timekeeping and Instrumentation in Medieval Islamic Civilization, Leiden / Boston, 2005; Mitton, J., A Concise Dictionary of Astronomy, Oxford etc., 1991; Ragep, F. J., NaŞir al-Dīn al-Ṭūsī’s Memoir on Astronomy (al-Tadhkira fī ‘ilm al-Hay’a), New York etc., 1993, vol. I; Rashed, R., «L’Analyse diophantienne au X^e siècle: L’Exemple d’al-Khāzin», Revue d’histoire des sciences, 1979, vol. XXXII(3), reprinted in Entre arithmétique et algèbre, 1994; Rosenfeld, B. A. and E. Ihsanoğlu, Mathematicians, Astronomers, and other Scholars of Islamic Civilization and Their Works (7^th-19^th c.), Istanbul, 2003; Rosenthal, F., «Al-AsṬurlâbî and as-Samaw’al on Scientific Progress», Osiris, 1950, vol. IX; Sarton, G., Introduction to the History of Science, Baltimore, 1931; Sayili, A., The Observatory in Islam and It’s Place in the General History of the Observatory, Ankara, 1988; Schirmer, O., «Studien zur Astronomie der Araber», Der physikalischmedizinischen Sozietät zu Erlangen, 1926, vol. LVIII; Schoy, C., Beiträge zur arabisch- islamischen Mathematik und Astronomie, ed. F. Sezgin, Frankfurt, 1988; Sédillot, L. A., Mémoire sur les instruments astronomiques des Arabes, Paris, 1844; Sezgin, F., Science and Technology in Islam: Catalogue of the Collection of Instruments of the Institute for the History of Arabic and Islamic Sciences, tr. R. Sarma and S. R. Sarma, Frankfurt, 2010; Suter, H., Die Mathematiker und Astronomen der Araber und ihre Werke, Amsterdam, 1981; Wiedemann, E., Gesammelte Schriften zur arabisch-islamischen Wissenschaftsgeschichte, Frankfurt, 1984; Woepcke, F., Recherches sur plusieurs ouvrages de Léonard de Pise, Rome, 1861.  
حمید بهلول