حِساب، یکی از علوم اصلی ریاضی در دوران باستان و دوران اسلامی.
۱. تعریف و موضوع حساب
علم حساب که به‌تسامح علم عدد یا ارثماطیقی نیز خوانده می‌شود (در مورد تفاوت این ۳ مفهوم، نک : دنبالۀ مقاله)، یکی از علوم ریاضی است که گاه، در کنار هندسه، یکی از دو علم اصلی ریاضی (ابن‌سینا، الشفاء، طبیعیات، ۱ / ۴۱)، و گاه در کنار هندسه و نجوم و موسیقی یکی از ۴ علم اصلی ریاضی (نک : کندی، ۳۷۷- ۳۷۸، که علم موسیقی را «علم تألیف» می‌خواند؛ نیز رسائل ... ، ۱ / ۴۹) شمرده‌می‌شد. در منابعی که علوم ریاضی را به اصلی و فرعی تقسیم‌نمی‌کنند، حساب یکی از ۷ علم ریاضی (فارابی، ۷۵) محسوب شده است (۶ علم دیگر عبارت‌اند از: هندسه، علم مناظر، علم نجوم ریاضی، موسیقی، علم اثقال و علم الحیل).
در منابع دوران اسلامی، علم حساب به دو صورت تعریف شده‌است: یکی تعریفی که در آثار فلسفی و طبقه‌بندیهای علوم دیده می‌شود و مآلاً مبتنی بر طبقه‌بندی ارسطویی علوم، بر حسب ارتباط موضوع آنها با ماده، و تقسیم کمیات به متصل و منفصل است. در این دسته از تعریفها، حساب بر حسب موضوع آن که کمّ منفصل یا عدد است، تعریف می‌شود. دیگری تعریفی که بیشتر در خودِ کتابهای حساب و کتابهای جبر و مقابله می‌آید و تعریفی «عملیاتی» است. همچنین می‌توان گفت که این تعریفها ناظر به انواع مختلفی از حساب است که در گذشته وجود داشته‌است. همچنین تفاوت میان این تعریفها، تا اندازه‌ای تحولات این رشته از ریاضیات را در دوران اسلامی منعکس می‌کند.
ابن‌سینا موضوع علم حساب را شناسایی انواع عدد و خواص هر یک از آنها، و شناخت نسبت اعداد با یکدیگر و نیز چگونگی به دست آمدن اعداد از یکدیگر دانسته است (نک : «اقسام‌الحکمة»، ۱۱۱)، همین تعریف با تفاوتهایی در اثر دیگری از ابن‌سینا در طبقه‌بندی علوم آمده است (همو، اقسام علوم ... ، ۲۲۷). این تعریف به آثار دیگر در طبقه‌بندی علوم نیز راه یافته‌است. از جمله ابن‌اکفانی آن را با حذف عبارت «شناخت نسبت اعداد با یکدیگر» نقل کرده (ص 59, 60)، و حتى در آثار غیر علمی و غیرفلسفی هم نقل شده‌است، تاآنجاکه نظامی عروضی در تعریف حساب، تعریف ابن‌سینا را عیناً به فارسی ترجمه کرده‌است (ص ۵۴). صورت ساده‌شده‌ای از این تعریف در برخی از آثار حسابی هم دیده می‌شود؛ چنان‌که علی بن یوسف محاسب در تعریف حساب به همین اکتفا کرده است که «موضوع حساب اعداد است» (ص ۵).
برخلاف ابن‌سینا که تعریفی کلی از حساب به دست داده‌است، فارابی علم حساب یا علم عدد را به صورت کلی تعریف‌نکرده، بلکه از همان آغاز، به تبع یونانیان که این علم را به دو شاخۀ «فن حساب[۱]» و «حساب عملی[۲]» تقسیم می‌کردند، آن را به دو شاخۀ عملی و نظری بخش کرده است (ص ۷۵). حساب عملی آن است که در آن عدد همواره همراه با معدود خاصی است و همان است که مردم در بازارها و زندگی مدنی به کار می‌گیرند؛ اما حساب نظری عدد را مجرد از اجسام و هر معدود دیگری در نظر می‌گیرد و آن را برکنار از هر چه با آن شمارش شود، بررسی می‌کند. فارابی تنها این بخش را جزو علوم می‌شمارد. موضوعاتی که فارابی برای این علم ذکر می‌کند، هم شامل بخشهایی از نظریۀ اعداد اقلیدسی و نوفیثاغورسی است ــ مانند مفاهیم فرد و زوج، روابطی چون تساوی و عدم تساوی و نیز روابطی که میان دو عدد برقرار است، مانند اینکه یکی از آن دو مضربی از دیگری باشد، یا دو عدد متباین یا متناسب باشند و نیـز مفاهیمی چـون اعداد تـام و غیـر تام ــ و هم شامل آنچه در همان زمان و بعدها با عنوانهای حساب هندی و حساب هوایی شناخته می‌شد، مانند روشهای جمع و تفریق و ضرب و تقسیم. همچنین علم حساب نظری در این بحث می‌کند که چگونه از اعداد معلومی اعداد دیگری به دست می‌آیند (ص ۷۵-۷۶). به نظر می‌آید کسانی که علم حساب را به «علم به دست آوردن مجهولات از معلومات» تعریف کرده‌اند، به بخش اخیر از تعریف فارابی نظر داشته‌اند. بنابر این تعریف، فارابی از علم عدد در واقع برخی از جریانهایی را که در ریاضیات روزگار او رایج بوده‌است، منعکس می‌کند. اما وی علم جبر را زیرشاخه‌ای از حساب نمی‌داند و آن را جزو یکی از «علوم الحیل» می‌آورد که آن را حیل عددیه می‌نامد (ص ۸۹).
تعریف فخرالدین رازی در جامع العلوم (ص ۳۹۵) نیز به تعریف ابن‌سینا در «اقسام الحکمه» نزدیک است. به گفتۀ وی «در این علم بیان خاصیت انواع عدد کنند». آملی نیز در نفائس الفنون همین تعریف را پذیرفته است (۳ / ۴۵). کندی هم در تعریف حساب به این اکتفا کرده که حساب را «علم کمیت» دانسته، و علوم ریاضی را به دو شاخۀ «علم کمیت» و «علم کیفیت» تقسیم نموده است. از این دو شاخه علم کمیت، که متناظر با حساب است، به دو علم تقسیم می‌شود: یکی «صناعة العدد» که کندی موضوع آن را چهار عمل اصلی بر روی اعداد (یعنی اعداد صحیح) می‌داند، و دیگری «علم التألیف» که موضوع آن بررسی
نسبتهایی است که میان اعداد پدید می‌آید (ص ۳۷۷). تعریف کندی از حساب نه‌تنها به بخشهای نظری‌تر حساب کاری ندارد، بلکه حتى همۀ چیزهایی را هم که در زمان او موضوع حساب هندی و حساب هوایی شمرده می‌شد، در بر نمی‌گیرد. تعریف کندی از علم التألیف همان تعریف نیکُماخُس از علم موسیقی است، که علم کمیت را به دو بخش تقسیم می‌کند: یکی علم کمیت وقتی به‌تنهایی در نظر گرفته شود، و در آن از چیزهایی مانند مربع و زوج و فرد و تام و مانند آن بحث می‌شود، و دیگری «علم موسیقی» که در آن از کمیت وقتی به چیز دیگری اضافه شود، بحث می‌شود و موضوع آن مفاهیمی چون دو برابر و بزرگ و کوچک و نصف و مثل و ثلث و مانند آن است (ص ۱۳-۱۴). بنابراین، کندی علم نیز حساب را یکی از علوم چهارگانۀ ریاضی می‌شمارد.
برخلاف این‌گونه آثار که حساب را بر حسب موضوع آن تعریف می‌کنند، در بیشتر آثار حسابی و کتابهای جبر و مقابلۀ دوران اسلامی، حساب بر حسب غایت و غرض و کارکرد آن تعریف شده است؛ از جمله کرجی حساب را به استخراج مجهولات از معلومات در همۀ انواع آن تعریف می‌کند («الفخری ... »، ۹۷، قس: البدیع ... ، ۷).
این تعریف که در آغاز در آثاری دیده می‌شود که موضوع آنها نوع خاصی از حساب، یعنی حساب جبر و مقابله است، بعدها به آثاری هم که به حساب به معنای معمولی آن می‌پردازند، راه یافته است. از جمله کوشیار گیلی آن را تعریف «غرض» حساب می‌داند: «غرض از حساب به دست آوردن مجهولات از معلومات است» (ص ۶۹). در آثار حسابی‌ای که بـه دو بخش ــ محاسبه بـا معلومات و استخراج مجهولات ــ تقسیم شده‌اند (نک : دنبالۀ مقاله)، این تعریف متناظر است با بخش دوم که شامل مطالبی چون یافتن جزء چهارم تناسب، حساب خطأین و حساب جبر و مقابله است. از جمله ابن بنّا در آغاز کتاب خود حساب را بـه این دو بخش تقسیـم می‌کند (نک : تلخیص ... ، ۳۵، رفع الحجاب ... ، ۲۰۱؛ قلصادی، ۲۹). برخی مؤلفان دیگر، شاید به این دلیل که این تعریف را بیش از اندازه کلی می‌دیده‌اند، علم حساب را به استخراج مجهولات «عددی» از معلومات تعریف کرده‌اند (غیاث‌الدین، ۴۷؛ شیخ بهایی، ۱).
در تعـریف ابن هائم (ه م) از حساب، ایـن دو دیدگاه ــ یعنی تعریف حساب بر حسب موضوع، و تعریف حساب بر حسب غایت آن ــ با هم ترکیب شده است: «حساب علمی است که با آن به استخراج مجهولات عددی راه می‌برند و موضوع آن عدد است از لحـاظ تحلیـل و تـرکیب، و آن کـمّ منفصل است» (نک : المعونة، گ ۲ ر). واژه‌های «تحلیل» و «ترکیب» که در این تعریف آمده، در واقع به معنای جمع و تفریق است و در این تعریف ضرب و تقسیم از فروع جمع و تفریق شمرده می‌شوند. برخی دیگر از مؤلفان حساب را، گذشته از تعریف بر حسب غایت آن، بر حسب موضوع آن بر پایۀ این دو مفهوم تعریف کرده‌اند: «حساب پرداختن به اعداد است به دو روش جمع و تفریق» (ابن بنا، همان، ۲۰۲).
۲. حساب، علم عدد، ارثماطیقی
تفاوتهایی که میان تعاریف حساب دیده می‌شود، گذشته از تفاوت میان تعریف حساب به موضوع و غایت آن، به تفاوت مفهومی که صاحبان این تعاریف از حساب در نظر داشته‌اند نیز مربوط می‌شود. این تفاوت در واژه‌هایی که آنان به کار می‌برند نیز بازتاب یافته‌است. واژه‌های علم عدد و ارثماطیقی تقریباً بر چیزی اطلاق می‌شود که امروزه نظریۀ اعداد نام دارد و موضوع آن بررسی خواص اعداد طبیعی است. این مفهوم تا اندازۀ زیادی متناظر است با مطالبی که در مقالات حسابی اصول اقلیدس و نظایر اسلامی آن ــ مانند بخش حساب شفـای ابن‌سینا ــ آمـده است. علـم عدد یا ارثماطیقی با جنبه‌های عملی حساب کاری ندارد. با این حال، گاهی نیز واژ‌ۀ «علم عدد» یا صناعت عدد بر حساب عملی نیز اطلاق شده است (همانجا). همچنین، چنان‌که خواهیم گفت، در آثار حسابی دوران اسلامی، مطالبی از نظریۀ اعداد در کنار روشهای عملی محاسبه آمده است.
از سوی دیگر، دامنۀ معنای واژ‌ۀ حساب در متون اسلامی تحت تأثیر پیدایش علم جبر و تحولات ناشی از آن، از آنچه در حساب عملی یونانی بود، فراتر رفته، و گذشته از روشهای انجام دادن عملیات حسابی بر روی اعداد معلوم، علم جبر را هم که موضوع آن عملیات بر روی مقادیر مجهول و به دست آوردن مقادیر مجهول از روی مقادیر معلوم از راه حل معادلات است، شامل شده است؛ و این تحول در تعریف حساب به «علمِ به‌دست آوردن مقادیر مجهول از مقادیر معلوم» بازتاب یافته‌است. این تعریفِ حساب تعریفی کلی‌تر است و در بیشتر موارد بخشهایی از جبر و مقابله را هم در بر می‌گیرد.
۳. منابع حساب دوران اسلامی
برخلاف هندسه که منبع عمدۀ مسلمانان در آن، آثار یونانیان به‌ویژه نوشته‌های اقلیدس و ارشمیدس و آپولونیوس بود، حساب دوران اسلامی به این دلیل که هم جنبۀ نظری داشت و هم جنبۀ کاربردی ــ و این دو جنبه در تعریفهای آن دیده می‌شود ــ ریشه در منابع مختلف و متفاوتی داشت. برخی از این منابع از این قرارند:
الف ـ حساب اقلیدسی
مقالات هفتم و هشتم و نهم کتاب اصول اقلیدس به موضوعی اختصاص دارند که امروزه نظریۀ اعداد خوانده می‌شود. مقالۀ هفتم اصول شامل تعریف عدد به صورت کثرتی از واحدها (قس: ابن‌بنا، رفع الحجاب، ۲۰۷، که این تعریف را «رسم» می‌داند)، تقسیم اعداد به زوج و فرد، یعنی اعدادی به صورتهای n۲ و ۱+ n۲، تعریف مقسومٌ‌علیه یک عدد (به صورت «جزئی» از آن عدد) و تعریف مضرب یک عدد است. سپس اعداد به زوج الزوج (اعدادی به صورت n۲) و زوج الفرد (اعدادی به صورت (۱+ n۲)۲) و فرد الفــرد (اعدادی به صورت (۱+ n۲) (۱+ m۲)) تقسیم می‌شوند. برخی دیگر از تعاریف این کتاب که در بسیاری از کتابهای حساب دوران اسلامی هم دیده می‌شود، اینها ست: تعریف عدد اول، تعریف دو عدد که نسبت به هم اول باشند، تعریف ضرب بر حسب جمع، تعریف اعداد مسطح (اعدادی به صورت n× m)، اعداد مجسم (اعدادی به صورتp × n × m)، اعداد مربع (اعدادی به صورت ۲n)، اعداد مکعب (اعدادی به صورت ۳n)، تعریف تناسب میان ۴ عدد، و تعریف عدد تام (عددی که برابر با مجموع مقسوم علیه‌های خود باشد) (اقلیدس، II / 277-278).
قضایای این مقاله مهم‌ترین خواص اعداد را بیان می‌کنند: روش تعیین اینکه دو عدد نسبت به یکدیگر اول‌اند یا نه (همو، II / 296)؛ روش یافتن کوچک‌ترین مضرب مشترک میان ۲ عدد (همو، II / 298) و میان ۳ عدد (همو، II / 300)؛ بررسی ویژگیهای کسرهایی به صورت و خواص تناسب میان این‌گونه کسرها؛ و بررسی خواص کسرهایی به صورت و خواص تناسب میان این‌گونه کسرها (همو، II / 318، قضیۀ ۱۹)، یعنی خواصی چون:
همچنین اقلیدس ثابت می‌کند که اگر دو عدد نسبت به هم اول باشند، هر مقسومٌ‌علیه یکی از آنها نسبت به دیگری اول خواهد بود (II / ۳۲۴، قضیۀ ۷ / ۲۳)؛ اگر دو عدد نسبت به عدد سومی اول باشند، حاصل ضرب آنها نیز نسبت به آن اول خواهد بود (II /
325، قضیۀ ۷ / ۲۴)؛ اگر دو عدد نسبت به هم اول باشند، مربع یکی از آنها نیز نسبت به دیگری اول خواهد بود؛ اگر دو عدد نسبت به هم اول باشند، هر توانی از یکی از آنها نسبت به همان توان از دیگری اول خواهد بود ؛ اگر دو عدد نسبت به هم اول باشند، مجموع آنها نیز نسبت به هر یک از آنها اول خواهد بود و به عکس (II /
329، قضیۀ ۷ / ۲۸)؛ اگر عدد اولی حاصل ضرب دو عدد را بشمارد، یکی از آن دو عدد را هم می‌شمارد (II / ۳۳۱، قضیۀ ۷ / ۳۰)؛ هر عددی یا اول است یا عدد اولی آن را می‌شمارد (II /
333، قضیۀ ۷ / ۳۲). در همین مقاله، اقلیدس راه یافتن کوچک‌ترین مضرب مشترک دو عدد را به دست می‌دهد (II /
336، قضیۀ ۷ / ۳۴).
موضوع بیشتر قضایای مقالۀ هشتم اصول، بررسی روابط میان کمیتهایی است که تشکیل تصاعد هندسی می‌دهند. در این مقاله اقلیدس جملۀ عمومی این تصاعد و نیز مجموع جمله‌های آن را به دست می‌آورد. در قضیۀ ۳۶ از مقالۀ نهم، اقلیدس فرمولی برای به دست آوردن اعداد تام ذکر، و آن را اثبات می‌کند. این فرمول چنین است: اگر اول باشد، عدد تام از رابطۀ به دست می‌آید (II / ۴۲۱-۴۲۴). هرچند اقلیدس در تعریف عدد تام، به فرد یا زوج بودن آن اشاره‌نمی‌کند، همۀ اعداد تامی که از این رابطه به دست می‌آیند، زوج‌اند. در قرن ۱۸ م اویلر ثابت کرد که همۀ اعداد تام زوج از این رابطه به دست می‌آیند، اما هنوز معلوم نشده است که آیا عدد تام فردی وجود دارد یا نه.
ب ـ حساب نوفیثاغورسی
دومین منبع مهم آشنایی مسلمانان با علم حساب یونانی، کتاب «مدخل حساب[۳]» ( المدخل الى علم العدد) نیلکماخس اهل گراسا [۴](در عربی: نیقوماخس الجهراسینی، نک : بوزجانی، ۱۲۴؛ یعقوبی، ۱/۱۴۰) است. دوران شکوفایی نیکماخس، که در برخی از منابع دوران اسلامی به‌خطا بـا نیکماخس، پـدر ارسطو یکی شمـرده شده (همـانجا؛ نیـز نک : ابن‌اکفانی، 60)، در حدود سال ۱۰۰ م بوده است. وی این کتاب را به شیوۀ نوفیثاغوری نوشته است، اما مطالب آن به نخستین فیثاغورسیان بازمی‌گردد (هیث، I/99). این اثر در قرن ۳ ق/ ۹ م به دست ثابت بن قرۀ حرانی (ه م) و با نام المدخل الى علم العدد به عربی ترجمه شد، اما در پایان دو بخش تنها نسخۀ بازمانده از آن با عنوان المدخل الى علم العدد المسمى بالارثماطیقی یاد شده‌است (نیکماخس، ۵۹، ۱۱۴). همچنین یعقوبی (د ۲۸۴ ق/۸۹۷ م) در تاریخ خود که وقایعش به سال ۲۵۹ ق ختم می‌شود، از این کتاب با عنوان ارثماطیقی یاد کرده، و خلاصه‌ای از مطالب آن را آورده است (۱/ ۱۳۹-۱۴۳)، همین نشان می‌دهد که این کتاب به احتمال زیاد پیش از ۲۵۹ ق به عربی ترجمه شده، و در همان زمان معروف بوده است.
«مدخل حساب» نیکماخس کتابی مقدماتی دربارۀ خواص اعداد است که تقریباً یکسره از اثبات خالی است و در غالب موارد پس از ذکـر قضایـا بـه مثالهای عددی اکتفا می‌کند (نک : تاران، 113). مؤلف در این کتاب پس از مقدمه‌ای فلسفی دربارۀ مراتب علوم و منزلت وجودی اعداد ــ که دیدگاه فیثاغورسی و افلاطونی نویسنده در آن آشکار است ــ به تقسیم اعداد می‌پردازد: نخست تقسیم اعداد به زوج و فرد می‌آید (ص ۱۹-۲۰)؛ آن‌گاه به شیوۀ اقلیدس، اعداد زوج را به زوج‌الزوج و زوج‌الفرد تقسیم می‌کند،
اما برخلاف او نه تنها چیزی از اعداد فردالفرد نمی‌گوید، بلکه دستۀ سومی از اعداد به نام زوج زوج‌الفرد (به صورت ) را تعریف می‌کند (ص ۲۰- ۲۸). وی اعداد فرد را به دو دسته تقسیم می‌کند: اعداد اول، و اعداد مرکب و اعدادی که هرچند مرکب‌اند، نسبت به یک عدد دیگر اول محسوب می‌شوند، مانند ۹ که مرکب است، اما نسبت به ۲۵ اول است (ص ۲۹-۳۱). این تعریف بیان غریبی است از مفهوم اقلیدسی دو عدد که نسبت به هم اول هستند (در کتابهای حساب دورۀ اسلامی چنین دو عددی متباین نامیده می‌شوند). نیکماخس به‌خطا ۲ را، چون زوج است، عدد اول نمی‌داند. آن‌گاه روش غربال اراتستن برای یافتن اعداد اول کوچک‌تر از یک عدد مفروض بیان می‌شود (ص ۳۱-۳۶).
در مورد اعداد زوج، نیکماخس آنها را به زائد و ناقص و تام تقسیم می‌کند. عدد ناقص عددی است که از مجموع مقسومٌ‌علیه‌هایش کوچک‌تر باشد، زائد آن است که از مجموع مقسومٌ‌علیه‌هایش بزرگ‌تر باشد و تام آن است که مساوی مجموع مقسومٌ‌علیه‌هایش باشد (ص ۳۶- ۳۸). وی اعداد تام زوج را از همان دستور اقلیدسی به دست می‌آورد. نیکماخس، برخلاف اقلیدس، تقسیم‌بندی تام و ناقص و زائد را تنها برای اعداد زوج ذکر می‌کند.
بیشتر این تقسیم‌بندیها با توضیحاتی کیفی دربارۀ هر یک از این دسته‌های اعداد همراه است. نیکماخس علاقۀ خاصی به تقسیمات سه‌وجهی دارد که دو وجه از آن متقابل با یکدیگرند و وجه سوم واسطۀ میان آنها ست. مثلاً اعداد اول و مرکب را متقابل، و عددی را که نسبت به عدد دیگری اول باشد، واسطۀ میان آنها می‌داند (ص ۳۱). همچنین به اعتقاد او اعداد زوج‌الزوج و زوج‌الفرد متقابل‌اند و اعداد زوج زوج‌الفرد واسطۀ میان آنها هستند (ص ۲۵). همچنین اعداد ناقص و زائد متقابل‌اند و عدد تام واسطۀ میان آنها ست (ص ۳۸). وی، بنا بر مشرب فیثاغورسی خود، عدد تام را متناظر با اعتدال می‌داند. این نظر در بـرخی از آثـار حسابی دورۀ اسلامی بازتاب یافته است (نک : بغدادی، التکملة ... ، ۲۲۷).
نیکماخس پس از بحث دربارۀ کمیت مفرد، یعنی خواص اعداد وقتی به‌تنهایی در نظر گرفته شوند، به بحث دربارۀ کمیت مضاف می‌پردازد و نسبتهای اصلی میان دو عدد، یعنی تساوی و بزرگ‌تری و کوچک‌تری را توضیح می‌دهد. توضیحات او دراین‌باره بسیار کیفی و آمیخته با اندیشه‌های باطنی است. مثلاً تساوی را رئیس (ص ۴۱) و پدر (ص ۵۶) اضافات می‌داند و آن را از نسبتهای دیگر برتر می‌شمارد. شاید به این دلیل باشد که وی نسبتهای دیگر را هم به تساوی تبدیل می‌کند، مثلاً رابطۀ
a >b
را به مجموعه‌ای از روابط به صورت
a =pb+q
تبدیل می‌کند که در آن p و q اعدادی صحیح‌اند (q می‌تواند صفر هم باشد) (ص ۴۲-۵۵). بخش مهمی از کتاب نیکماخس دربارۀ اعداد مسطح (یا مضلّع) و اعداد مجسم است، یعنی اعدادی که اگر واحدهای آنها را به صورت نقاط یا دایره‌های کوچکی فرض کنیم، از کنار هم قرار گرفتنشان اشکال مسطحی چون مثلث و مربع و چند ضلعیهای گوناگون و نیز اشکال فضایی‌ای چون هرمهایی که قاعدۀ آنها چندضلعیهای منتظم است، به دست می‌آید. نیکماخس جدولی از اعداد مسطح به دست می‌دهد:
اعداد مثلثی ۱ ۳ ۶ ۱۰ ۱۵ ۲۱ ۲۸ ۳۶ ۴۵
اعداد مربعی ۱ ۴ ۹ ۱۶ ۲۵ ۳۶ ۴۹ ۶۴ ۸۱
اعداد پنج‌ضلعی ۱ ۵ ۱۲ ۲۲ ۳۵ ۵۱ ۷۰ ۹۲ ۱۱۷
اعداد شش‌ضلعی ۱ ۶ ۱۵ ۲۸ ۴۵ ۶۶ ۹۱ ۱۲۰ ۱۵۳
اعداد هفت‌ضلعی ۱ ۷ ۱۸ ۳۴ ۵۵ ۸۱ ۱۱۲ ۱۴۸ ۱۸۹
این‌گونه نظریه‌ها ریشه در تعالیم کهن فیثاغورسیان و جهان‌بینی آنها که عدد را اصل همه‌چیز می‌دانستند، دارند. به این سبب است که نیکماخس در آغاز مقالۀ دوم کتاب خود دربارۀ عدد به عنوان عنصر، یعنی چیزی تجزیه‌ناپذیر که چیزهای دیگر از آن پدید می‌آید، بحث می‌کند. فارغ از این جنبۀ جهان‌شناختی، کاوش در خواص این‌گونه اعداد ریاضی‌دانان بعدی را به تحقیق در خواص رشته‌های عددی رهنمون شد.
«مدخل حساب» نیکماخس، با همۀ شهرتی که در عالم اسلام داشته، تنها از نظر محتوا، و به‌ویژه در مبحث اعداد مجسم، بر حساب دوران اسلامی تأثیر داشته است و ریاضی‌دانان اسلامی با روش و مبانی فلسفی این کتاب چندان کاری نداشته‌اند (در مورد ادامۀ بحث اعداد مجسم در ریـاضیات غـرب اسلامی، نک : جبار[۵]، سراسر مقاله). ابوالقاسم انطاکی شرحی بر این کتاب با نام تفسیر کتاب ارثماطیقی نوشته (نک : GAS, V / 30) که تنها بخشی از آن باقی مانده است. اما چنان‌که خواهیم دید، آثاری که در این دوران با عنوان «ارثماطیقی» تألیف شده، بیشتر از مقالات حسابی اصول اقلیدس استفاده کرده‌اند تا از کتاب نیکماخس.
این‌گونه تحقیق دربارۀ خواص اعداد، که مسلمانان از راه ترجمه‌های اصول اقلیدس و «مدخل حساب» نیکماخس با آن آشنا شدند، همان چیزی است که در طبقه‌بندیهای علوم، بخش نظری حساب و یا ارثماطیقی و گاه علم عدد خوانده‌شده‌است، و امروزه نظریۀ اعداد نامیده می‌شود، و تعاریفی که حساب را «علم خواص اعداد» می‌دانند، ناظر به این‌گونه حساب است.
به‌جز این آثار، مسلمانان منابع یونانی دیگری را می‌شناخته‌اند که به دلیل از میان رفتن آنها محتوا و نوع و دامنۀ مطالبشان معلوم نیست. مثلاً ابوالوفا بوزجانی کتابی در شرح «کتاب ابرخس بثینی در اصول اعداد» داشته است (بوزجانی، ۱۲۶)، اما نه چنین کتابی از راه منابع دیگر شناخته است و نه نویسندۀ آن.
ج ـ حساب هندی
در کنار منابع پیشین، که موضوع آنها عمدتاً نظریۀ اعداد است، مسلمانان وارث مجموعه‌ای از فنون محاسبه با اعداد صحیح و کسرها بودند که به دلیل سرشت عملی آنها منشأ غالبشان درست معلوم نیست. چون اعراب پس از فتح ایران و روم وارث شیوه‌های کشورداری ایشان شدند و طبعاً ادارۀ امور این امپراتوری پهناور بدون نگاهداری دقیق خرج و دخل دولت ممکن نبود، از همان آغاز شیوه‌های دیوانی ایرانی، و همراه با آن برخی از روشهای محاسبه را اخذ کردند. داستانی که ابن‌ندیم در مورد تبدیل زبان دفاتر رسمی دولتی از فارسی به عربی در زمان حجاج نقل می‌کند، هرچند شاید با افسانه آمیخته‌باشد، نشان می‌دهد که نبود واژگان مناسب برای حساب یکی از دشواریهای این انتقال شمرده می‌شده‌است (ص ۳۰۳). همچنین اهل حرف و بازرگانان نیز روشهایی برای محاسبه داشته‌اند و دور نیست که برخی از این روشها به متون حسابی دوران اسلامی انتقال یافته باشد.
اما این روشها، هرچه بوده‌اند، به‌استقلال باقی نمانده‌اند و نخستین مجموعه‌ای از روشهای محاسبه که به صورت منسجم به دست ما رسیده، حساب هندی است که مسلمانان کلیات آن را از هندیان گرفتند، هرچند نه تاریخ این انتقال روشن است و نه سهم ایشان در توسعۀ آنچه از هندیان گرفته بودند.
دربارۀ شناخت مردم خاورمیانۀ پیش از اسلام از روشهای محاسباتی هندیان، تنها آگاهی ما اشاره‌ای است از سِوِروس سِبُخت، اسقف سریانی، که در ۶۶۲ م یونانی‌زبانان را نکوهش می‌کند که چرا همۀ دانشها را از خود (یعنی یونانیان) می‌دانند و برای اثبات دعوی خود که علم از آن همۀ ملتها ست، از روش محاسبۀ هندیان و محاسبات ایشان سخن می‌گوید که «هرچه از آن بگوییم کم گفته‌ایم، یعنی محاسباتی که با ۹ نشانه انجام می‌شود» (برخلاف یونانیان که اعداد را با حروف الفبا نمایش می‌دادند) (نو[۶]، 226). سوروس اسقف قِنَّسرین در کرانۀ فرات بود که در ۶۳۷ م به تصرف مسلمانان درآمد، اما پیش از آن، تا ۶۲۸ م که رومیان و ایرانیان صلح کردند، مدتی در دست ایرانیان بود. بنابراین، به دلیل روابط فرهنگی میان هند و ایران در پیش از اسلام، دور نیست که آگاهی سوروس از نظام عددنویسی هندی از راه ایران بوده باشد. همچنین در بخشی از
کتاب «هندسۀ» بوئسیوس، فیلسوف لاتینی‌زبان قرن ۶ م، آمده‌است که هندیان روشهای مختلفی در محاسبه دارند که یکی از آنها استفاده از ارقام از ۱ تا ۹ است. اما در اینکه این بخش از «هندسه» از بوئسیوس باشد، تردید است. بیرونی نیز تصریح کرده است که هندیان به هیچ وجه از حروف برای نمایش اعداد استفاده نمی‌کنند، بلکه همان ارقام نه‌گانه را به کار می‌برند. بیرونی به اختلاف شکل ارقام در میان هندیان اشاره می‌کند و می‌گوید که آنچه ما به کار می‌بریم از بهترین آنها گرفته‌شده‌است ( تحقیق ... ، ۸۲-۸۳). همچنین عبارت بیرونی نشان می‌دهد که در روزگار او محاسبه بر روی لوحی پوشیده از غبار همچنان در هند رایج بوده است (همان، ۸۳؛ نیز نک : ووپکه، 359). برخی از نوشته‌های متأخر اسلامی نیز، در بیان وجه تسمیۀ «حساب غبار»، استفاده از این وسیله را به هندیان نسبت داده‌اند (قلصادی، ۳۶).
ابداع دستگاه اعداد ده‌گانی با ارقام نه‌گانه به قرون اولیۀ میلادی باز می‌گردد، اما نخستین سند کتبی که دراین‌باره از هند باز مانده، مربوط به ۵۹۵ م است. از قرن ۸ م به بعد این ارقام در سنگ‌نوشته‌ها و دست‌نوشته‌ها دیده می‌شود. نخستین مورد از صفر به صورت دایره‌ای توخالی از ۲۵۶ ق / ۸۷۰ م بازمانده‌است. در بسیاری از آثار نجومی هندی بخشهای اول به حساب اختصاص دارد، از جمله ۳ فصل اول کتاب براهماسپوته سیدهنتا[۷] که در ۶۲۸ م تألیف شده‌است و بخش اول کتابی از بهاسکره[۸] که لیلاوتی[۹] نام دارد (فولکرتس، 1-3). بسیاری از قواعد آثار حسابی دوران اسلامی در متون هندی نیز یافت می‌شود، از جمله قاعدۀ برای جذرگیری تقریبی که بعدها در بسیاری از آثار حساب اسلامی آمده است.