توازی، اصل

تَوازی، اَصْل، اصل پنجم از اصول موضوع یا مصادرات هندسۀ اقلیدسی که امروزه آن را به صورتی که به نام پلی‌فر (1748-1819م/ 1161-1234ق) معروف شده است، می‌شناسیم: «از نقطه‌ای مفروض [در خارج یک خط] می‌توان یک خط و تنها یک خط به موازات آن رسم کرد» (گرینبرگ، 16-17). 
اقلیـدس (ه‍ م) در مقالۀ نخست اصول، فهرستی از پیش ـ ‌فرضهای بنیادین هندسۀ خود متشکل از تعاریف، اصول متعارف و اصول موضوع (مصادرات) آورده است که مناقشه انگیزترین آنها اصل پنجم است که در آن چنین می‌گوید: «اگر خط راستی دو خط راست دیگر را چنان قطع کند که در یک سو زاویه‌هایی داخلی با مجموع کمتر از دو قائمه پدید آورد، اگر آن دو خط به مقدار نامعلومی امتداد داده شوند، در همان سو با هم برخورد می‌کنند» (هیث، I/ 155). 

نکتۀ اصلی اینجا ست که اقلیدس از این اصل تا پیش از قضیۀ29 از کتاب نخست اصول، به‌رغم امکان ساده سازی اثبات قضایای پیش از آن، استفاده نکرده که این امر به نظر برخی حاکی از عدم تمایل او برای اصل قرار دادن آن است (همو، 119؛ هوخندایک، 252)؛ ولی به این منظور او ناچار می‌بود، آن را با استفاده از مقدمات دیگر و 28 قضیۀ نخست ثابت کند. این آرمانی است که بسیاری از هندسه‌دانان بعدی طی بیش از دو هزار سال درصدد تحقق آن برآمدند. کوششهای بسیاری برای اثبات این اصل صورت گرفت که بیشتر آنها نادرست و اغلب متضمن اثبات قضیه‌ای هم‌ارز خود اصل پنجم بودند. 
از کسانی که در سنت اسکندرانی برای تعریف یا نظریه‌پردازی دربارۀ اصل توازی تلاش کردند، می‌توان به ارشمیدس (ه‍ م)، پوسیدونیوس (135-44ق‌م)، بطلمیوس (ه‍ م)، پرُکلُس (ه‍ م)، اغانیس (که تنها از طریق آثار عربی شناخته شده است)، و سرانجام سیمپلیکیوس (اواخر سدۀ 5 و نیمۀ نخست سدۀ 6 م) اشاره کرد. 
اصول اقلیدس از جمله آثاری است که با آغاز توجه مسلمانان به آثار یونانی ترجمه شد و از همان ابتدا شروح مختلفی به زبان عربی بر آن نوشته شد(نک‍ : GAS,V/ 105-120). به نظر برخی «مرحلۀ عربی تاریخ اصول»، دارای متنوع‌ترین وجوه و بیشترین خلاقیت بوده است و در مقام مقایسه، هیچ بحث زنده و خلاقی نظیر متون عربی، دربارۀ اصل توازی و دیگر مقدمات کتاب اصول، در متونی که در سده‌های بعد به لاتینی نوشته شد، دیده نمی‌شود («زندگی‌نامه...»، IV/ 448). 
چنان می‌نماید که نخستین نظریه‌پرداز دورۀ اسلامی در زمینۀ خطوط متوازی، عباس بن سعید جوهری (ه‍ م) است که در روزگار مأمون (حک‍ 198-218ق) در بغداد می‌زیست (قربانی، زندگی‌نامه...، 215). او در اثر خود با عنوان اصلاح اصول اقلیدس ــ که ظاهراً بر جای نمانده ــ با ارائۀ 6 قضیه در اثبات اصل توازی کوشیده است (نک‍ : نصیرالدین، الرسالة...، 18-24). پس از وی به نامهای یعقوب بن اسحاق کندی (د ح 252ق/ 866م)، بنوموسى و محمدبن عیسى ماهانی (د ح 275ق) (ه‍ م‌م) بر می‌خوریم که از تلاشهای آنها در این باره، تنها از طریق رساله‌ای در اثبات اصل توازی از مؤلفی ناشناس (نک‍ : کراوزه، 522) و اشاره‌ای از بیرونی (ص 180-184) آگاهی داریم. 
ثابت بن قره (ه‍ م) ضمن اصلاح ترجمۀ اسحاق بن حنین از اصول که به ترجمۀ اسحاق ـ ثابت معروف است، در دو رسالۀ کوچک و با دو روش در اثبات اصل توازی کوشید. او در یکی از این دو روش از مفهوم «حرکت» در اثبات گزارۀ توازی استفاده کرد (نک‍ : صبره، 12 ff.). 
ابوالعباس نیریزی (ه‍ م) شرح مفصلی از اصول اقلیدس را فراهم آورد و در اثر خود شرح اصول، روش اثبات اغانیس و برخی از نظریات سیمپلیکیوس را ذکر نمود (ص 8، 118 بب‍‌ ). وی همچنین در رساله‌ای روش مستقل خود را بیان کرده است (نک‍ : قربانی، ریاضی‌دانان...، 86-87؛ هوخندایک، 252 ff.). 
از کسانی چون ابوجعفر خازن، یوحنا القس و ابوعبدالله شَنّی (ه‍ م‌م) هم در زمرۀ کسانی که به این مبحث پرداخته‌اند، یاد شده است، اما اثری از روش ایشان بر جای نمانده است (نک‍ : ابن ندیم، 505؛ خیام، 178؛ نصیرالدین، همان، 38). 
ابن هیثم (ه‍ م) در دو اثر مستقل با عنوانهای حل شکوک کتاب اقلیدس فی الاصول و شرح معانیه و شرح مصادرات اقلیدس به مسئلۀ توازی و اثبات اصل توازی پرداخته است. وی از جمله کسانی است که از دیدگاه منطقی ـ فلسفی، برخی از اصول موضوعه (ه‍ م) و نیز تعریف خطوط متوازی اقلیدس را نقد می‌کند (شرح مصادرات...، 16-17). در تعریف توازی، عمدۀ نقد او متوجه قید «نامعلوم» برای امتداد خطوط است که وی در اینجا آن را «بی‌نهایت» تعبیر کرده است. به نظر می‌رسد که ابن‌هیثم مفاهیم اقلیدسی «نامعلوم» و «نامتعین» (نک‍ : هیث، I/ 234) را به «نامحدود» یا «بی‌نهایت» تعبیر کرده است و وجود دو خط را که تا بی‌نهایت ادامه یابند، «غیرقابل تخیل» دانسته است (دربارۀ قوۀ خیال، مثلاً نک‍ : ابن‌سینا، النجاة، 346: «تخیل، صورت را مجرد و منتزع می‌کند از ماده... نه از لواحق آن»؛ قس: خیام، 185). وی با به کارگیری گونه‌ای از «حرکت» ــ که خود ویژگیهای آن را برمی‌شمرد ــ روشی برای «تخیل» دو خط با این وصف ارائه می‌کند و پس از ذکر مقدماتی نتیجه می‌گیرد که قول اقلیدس در تعریف دو خط متوازی نادرست است، اما با این حال، وجود دو خط متوازی ممکن و قابل تخیل است (ابن هیثم، همانجا). البته در متن، او مصادرۀ پنجم را با همان قید «امتداد بغیر نهایة» آورده است (همان، 31-34). در برهان مبسوط او برای اثبات توازی (نک‍ : همان، 34-40) از وجود یک چهارضلعی با 3 زاویۀ قائمه و زاویۀ چهارم نامعلوم استفاده شده که امروزه به نام چهارضلعی لامبرت (د 1777م/ 1191ق) مشهور است (یوشکویچ، 149؛ روزنفلد، 104؛ گرینبرگ، 127؛ ایوز، 126). ابن هیثم در حل شکوک... یادآور شده است که این مصادره با این عبارت که دو خط متقاطع، با یک خط [دیگر]، موازی نیستند، هم‌ارز است، وی این عبارت را معادل اصل پنجم، به صورتی که در اصول اقلیدس آمده، می‌شمارد، جز اینکه آن را از اصل پنجم روشن‌تر، محسوس‌تر و از لحاظ روانی پذیرفتنی‌تر می‌داند (ص 25-26)، اما این نظر او از سوی نصیرالدین طوسی انتقاد می‌شود (نک‍ : الرسالة، 5، 7). 
خیام (ه‍ م) نیز در اثری با عنوان شرح ما اشکل من مصادرات اقلیدس به این موضوع پرداخته است. او در ابتدا ضمن معرفی اسلاف خود در این زمینه، آراء ایشان را نقد کرده، و در نهایت هیچ‌یک را قابل جایگزینی برای اصل توازی یا اثبات‌کنندۀ آن ندانستـه است. به عنوان نمونه او انتقاداتی ــ اغلب فلسفی ــ را به مقدمات و مبانی برهان ابن هیثم ــ بـه‌ویژه دربـارۀ حرکت ــ وارد می‌کند (ص 179-180). در ادامۀ کتاب، خیام با ارائۀ 8 قضیه به اثبات گزارۀ توازی پرداخته است. او هم مانند ابن هیثم از یک چهار ضلعی، و این بار با فرض دو زاویۀ قائمه و دو زاویۀ نامعلوم برای آن، استفاده کرده (ص 184 بب‍‌ ) که امروزه به نام چهارضلعی ساکْری (د 1733م) معروف است (گرینبرگ، 125؛ یوشکویچ، 151؛ «زندگی‌نامه»، VII/ 329؛ ایوز، 125-126). 
حسام‌الدین علی بن فضل‌الله سالار (زنده در 513 ق) (نک‍ : قربانی، زندگی‌نامه، 226) در رسالۀ کوچکی با عنوان «مقدمات لتبیین المصادرة التی ذکرها اوقلید فی صدر المقالة الاولی فیما یتعلق بالخطوط المتوازیة» با به کارگیری 6 قضیه به اثبات گزارۀ توازی پرداخته است (ص 285-294) که شباهت بسیاری به برهان خیام دارد. 
پس از او، علم‌الدین قیصر بن ابی‌القاسم حنفی (د 649 ق) است که از نقد او بر برهان سیمپلیکیوس (قس: همایی، 299) به واسطۀ مکاتباتش با خواجه نصیرالدین طوسی اطلاع داریم (نصیرالدین طوسی، همان، 36 بب‍‌ ). 
قاضی‌زادۀ رومی (ه‍ م) برهانی از اثیرالدین ابهری (ه‍ م) را که بی‌شباهت به روش سیمپلیکیوس نیست، در شرح خود بر اَشکال التأسیس شمس‌الدین سمرقندی (د ح 675 ق) آورده است (نک‍ : ص 119-125). اثیرالدین ابهری تحریری از اصول با عنوان اصلاح اصول اقلیدس نیز فراهم آورده که متضمن برهان دیگر او در اثبات اصل توازی است (گ 17 ر ـ 20 ر). این برهان دقیقاً با اثبات دیگری برای اصل توازی که ضمن تحریری از اصول اقلیدس به سال 1594م در رم به چاپ رسیده، و اشتباهاً به نصیرالدین طوسی منتسب شده، منطبق است ( تحریر اصول...، چ ر م، 28-33؛ نیز نک‍ : ه‍ د، 6/ 587). این چاپ که همچنان شهرت انتساب به نصیرالدین طوسی را حفظ کرده، به جهت استناد توسط جان والیس و پس از او ساکری از شهرت بسیاری برخوردار است و از این‌رو برخی این اثر را تأثیرگذارترین کتاب دورۀ اسلامی در پیدایش هندسۀ نااقلیدسی دانسته‌اند (روزنفلد، 17، 147-149؛ نیز نک‍ : دنبالۀ مقاله). 
نصیرالدین طوسی (ه‍ م) افزون بر تحریر اصول اقلیدس که برهان او را دربارۀ توازی دربر دارد (چ سنگی، ص 16-22)، رسالۀ مستقلی در این باب با عنوان الرسالة الشافیة عن الشک فی الخطوط المتوازیة تصنیف کرده است. او در این کتاب نخست همانند خیام، اقوال برخی پیشینیان از جمله ابن هیثم، خیام و جوهری را آورده، و نقد کرده است (نک‍ : ص 5-7، نیز 7-17، 18-24) و آنگاه همین برهان را به طور مبسوط در 8 قضیه بیان کرده است (ص 26-34). گرینبرگ از کار نصیرالدین طوسی به عنوان مهم‌ترین تلاش پس از پرکلس تا جان والیس (1703م) برای اثبات اصل توازی نام برده است (ص 123). 
محیی‌الدین مغربی (نک‍ : ه‍ د، ابن ابی‌الشکر) نیز تحریری از اصول نوشته است و دو برهان بر این قضیه در دو اثر خود آورده که مشابه روش ابن هیثم و نصیرالدین طوسی است (روزنفلد، 165-168). 
ظاهراً قطب‌الدین شیرازی (ه‍ م) آخرین هندسه‌دان مسلمان است که در این زمینه اظهار نظر کرده، و شرح روش خود را در دُرة التاج آورده است (گ 105 ر ـ 105 پ؛ قس: روزنفلد، 169 بب‍‌ ). 
در سده‌های 7-13ق/ 13-19م برخی از آثار دورۀ اسلامی دربارۀ نظریۀ خطوط موازی توسط اروپاییان اقتباس گردیده، و یا به نقد کشیده شده، و گاه تأثیرات غیرقابل انکاری بر نظریات ایشان داشته است که در ادامه برخی از شواهد آن ارائه می‌گردد: 
ویتلو (سدۀ13-14م)، از مردم لهستان در رسالۀ «نورشناخت» خود که تحت تأثیر ابن هیثم نگاشته، و ریزنِر آن را در 1572م در بازل به ضمیمۀ ترجمۀ لاتینی المناظر ابن هیثم به چاپ رسانده است، برهانی بر مصادرۀ پنجم با تأثیر از براهین دورۀ اسلامی آورده است، هرچند سطح بسیار پایین‌تری نسبت به آنها دارد (اشتاین اشنایدر، 82؛ روزنفلد، 174-175). لِوی بن گرسون (د 1344م) و آلفونسو اهل وایادولید (د 1346م) در آثار خود که به زبان عبری است، برهانهایی همانند براهین ثابت بن قره، ابن هیثم و خیام ارائه داده‌اند. آلفونسو برهان اغانیس را با عنوان برهان نیریزی نقد کرده، سپس برهان خود را به پیروی از ثابت ابن قره و ابن هیثم آورده است (همو، 175-179). مورد دیگر گریسوگونو (1472-1538م)، هندسه‌دان اهل یوگسلاوی است که در فصل 9 از رساله‌اش به خطوط متوازی پرداخته، و در آن آثار بسیاری از هندسه‌دانان اسلامی را آورده، و نقد کرده است (همو، 180). 
در1574م کریستف کلاویوس، کشیش یسوعی برهان تازه‌ای بر توازی در ضمن شرح خود بر اصول اقلیدس عرضه کرد. او نام مشخصی از هندسه‌دانان اسلامی یاد نکرده، اما نوشته است که: «من می‌دانم که نظیر این برهان در برخی شروح اقلیدس به زبان عربی نیز آمده، اما هرگز فرصت خواندن آن را نداشته‌ام، هرچند نزد کسانی که اقلیدس را به عربی می‌دانسته‌اند، بارها شاگردی کرده‌ام». برهان او نیز به برهان ثابت بن قره و ابن هیثم شباهت بسیار دارد؛ همچنان‌که از چهارضلعی خیام نیز سود برده است (همو، 181). 
در آغاز سدۀ 17م دو اثر از پیترو کاتالدی (1548-1626م) دربارۀ اصول توازی منتشر شد. او در مقدمات برهان خود از گزاره‌ای که خیام آن را به ارسطو نسبت داده، استفاده کرده است (همو، 183). جاکومو آلفونسو بورلّی (1608-1679م) در اثر خود، «احیاء اقلیدس» همانند ثابت بن قره و ابن هیثم از مفهوم «حرکت» بهره گرفت (همو، 183-184). ویتاله جوردانو (1633-1711م) در کتابی به ایتالیایی که آن نیز «احیاء اقلیدس» نام دارد، متعرض خیام شده، و از این طریق برهانی بر مصادرۀ پنجم ارائه کرده است (همو، 184). 
جان والیس (1616-1703م) در بخش دوم از رسالۀ خود با عنوان «برهانهای هندسی بر مصادرۀ پنجم»، ترجمۀ ادوارد پوکاک از برهان مصادرۀ پنجم مذکور در تحریر منسوب به نصیرالدین طوسی را آورده، و در بخش سوم نیز برهان مستقل خود را با پیشنهاد اصلی جایگزین کرده، و استفاده از مفهوم حرکت را با تأسی به ابن قره و ابن هیثم ارائه کرده است (همو، 185-186؛ گرینبرگ، 123-125). 
جیرو لامو ساکری (1667-1733م) که «کشف ناخودآگاه» هندسۀ نا اقلیدسی به او نسبت داده می‌شود، بر این اثر والیس دست یافت و در کتاب خود با عنوان «اقلیدس عاری از هرگونه نقص» هر دو برهان منسوب به نصیرالدین طوسی و والیس را به نقد کشید و چهارضلعی خیام را با همان حالت‌بندیهای او ارائه کرد (روزنفلد، 186؛ گرینبرگ، 125-127؛ قس: «زندگی‌نامه»، XII/ 56: 3 تا از این چهارضلعیها توسط خیام و نصیرالدین طوسی بررسی شده بودند) که امروزه با نام وی شناخته می‌شوند. پس از او یوهان هاینریش لامبرت (1728-1777م) اثر ساکری و مؤلفان پس از او را مستقیماً یا دست‌کم از طریق رسالۀ دکتری کلوگل که جامع بسیاری از براهین پیش از خود بود، به دست آورد. او هم در کارهای خود از چهارضلعیهای پیش‌گفته بهره برد (گرینبرگ، 127). 
در سدۀ 19م هندسه‌های نااقلیدسی توسط هندسه‌دانانی نظیر گاوس (1777-1885م)، یانوش بویویی (1802-1860م)، و نیکلای لباچفسکی (1792-1856م) ابداع شدند که در همۀ آنها تمامی مقدمات اقلیدس به جز اصل توازی پذیرفته می‌شد و سرانجام در 1868م بلترامی ثابت کرد که اصل توازی به وسیلۀ دیگر مقدمات و قضایای اقلیدس قابل اثبات نیست؛ از این‌رو در فضای هندسۀ اقلیدسی همواره به یک اصل توازی یا اصلی هم‌ارز آن نیازمندیم (گرینبرگ، 18, 140-147, 178 ff.). 

مآخذ

ابن‌سینا، النجاة، به کوشش محمدتقی دانش‌پژوه، تهران، 1364ش؛ ابن‌ندیم، الفهرست، به کوشش فلوگل، لایپزیگ، 1871-1872م؛ ابن هیثم، حسن، حل شکوک کتاب اقلیدس فی الاصول و شرح معانیه، به کوشش فؤاد سزگین، فرانکفورت، 1985م؛ همو، شرح مصادرات اقلیدس، به کوشش فؤاد سزگین، فرانکفورت، 2000م؛ اثیرالدین ابهری، مفضل، اصلاح اصول اقلیدس، نسخۀ خطی شم‍ 540 کتابخانۀ سپهسالار؛ بیرونی، ابوریحان، استخراج الاوتار فی الدائرة، حیدرآباد دکن، 1367ق/ 1948م؛ حسام‌الدین علی بن فضل‌الله سالار، «مقدمات لتبیین المصادرة التی ذکرها اوقلید فی صدر المقالة الاولی فیما یتعلق بالخطوط المتوازیة»، چ تصویری همراه خیامی‌نامه، به کوشش جلال‌الدین همایی (نک‍ : همایی)؛ خیام، «شرح ما اشکل من مصادرات کتاب اقلیدس»، همراه خیامی‌نامه (نک‍ : هم‍ ، همایی)؛ روزنفلد، ب. ا. و ا. پ. یوشکویچ، نظریة الخطوط المتوازیة فی المصادر العربیة مابین القرنین الثالث و الثامن للهجرة، ترجمۀ سامی شلهوب و کمال نجیب عبدالرحمان، حلب، 1409ق/ 1989م؛ قاضی‌زادۀ رومی، شرح بر اشکال التأسیس سمرقندی، به کوشش محمد سویسی، تونس، 1984م؛ قربانی، ابوالقاسم، ریاضی‌دانان ایرانی، تهران، 1350ش؛ همو، زندگی‌نامۀ ریاضی‌دانان دورۀ اسلامی، تهران، 1365ش؛ قطب‌الدین شیرازی، محمود، درة التاج، نسخۀ خطی شم‍ 560 کتابخانۀ سپهسالار؛ نصیرالدین طوسی، تحریر اصول اقلیدس، چ سنگـی، تهران، 1298ق؛ همـان، رم، 1594م؛ همو، الرسالة الشافیة عن الشک فی الخطوط المتوازیة، حیدرآباد دکن، 1359ق؛ نیریزی، فضل، شرح اصول اقلیدس، به کوشش هایبرگ، لایپزیگ، 1899م؛ همایی، جلال‌الدین، خیامی‌نامه، تهران، 1346ش؛ نیز: 

Dictionary of Scientific Biography, New York, 1971; GAS; Greenberg, M. J., Euclidean and non-Euclidean Geometries, San Francisco, 1980; Heath, Th. L., The Thirteen Book of Euclid’s Elements, New York, 1956; Hogendijk, J. P., «Al-Nayrīzī’s Own Proof of Euclid’s Parallel Postulate», Sic Itur ad Astra. Studien zur Geschichte der Mathematik und Naturwissenschaften, Wiesbaden, 2000; Eves, H., An Introduction to the History of Mathematics, New York, 1969; Juschkewitsch, A. and B. A. Rosenfeld, Die Mathematik der länder des ostens im mittelalter, Berlin, 1963; Krause, M., «Stambuler handschriften islamischer mathematiker», Quellen und Studien zur geschichte der mathematik, astronomie und physic, Frankfurt, 1936; Sabra, A. I., «Thabit ibn Qurra on Euclid’s Parallels Postulate», Journal of the Warburg and Coutauld Institutes, London, 1968, vol. XXXI; Steinschneider, M., Die Europäischen Übersetzungen aus dem Arabischen bis Mitte des 17. Jahrhunderts, Graz, 1956. 
محمدحسین احمدی