تَوازی، اَصْل، اصل پنجم از اصول موضوع یا مصادرات هندسۀ اقلیدسی که امروزه آن را به صورتی که به نام پلی‌فر[۱] (۱۷۴۸-۱۸۱۹م/ ۱۱۶۱-۱۲۳۴ق) معروف شده است، می‌شناسیم: «از نقطه‌ای مفروض [در خارج یک خط] می‌توان یک خط و تنها یک خط به موازات آن رسم کرد» (گرینبرگ، ۱۶-۱۷).
اقلیـدس (ه م) در مقالۀ نخست اصول، فهرستی از پیش ـ فرضهای بنیادین هندسۀ خود متشکل از تعاریف، اصول متعارف و اصول موضوع (مصادرات) آورده است که مناقشه انگیزترین آنها اصل پنجم است که در آن چنین می‌گوید: «اگر خط راستی دو خط راست دیگر را چنان قطع کند که در یک سو زاویه‌هایی داخلی با مجموع کمتر از دو قائمه پدید آورد، اگر آن دو خط به مقدار نامعلومی امتداد داده شوند، در همان سو با هم برخورد می‌کنند» (هیث، I/ ۱۵۵).
نکتۀ اصلی اینجا ست که اقلیدس از این اصل تا پیش از قضیۀ۲۹ از کتاب نخست اصول، به‌رغم امکان ساده سازی اثبات قضایای پیش از آن، استفاده نکرده که این امر به نظر برخی حاکی از عدم تمایل او برای اصل قرار دادن آن است (همو، ۱۱۹؛ هوخندایک، ۲۵۲)؛ ولی به این منظور او ناچار می‌بود، آن را با استفاده از مقدمات دیگر و ۲۸ قضیۀ نخست ثابت کند. این آرمانی است که بسیاری از هندسه‌دانان بعدی طی بیش از دو هزار سال درصدد تحقق آن برآمدند. کوششهای بسیاری برای اثبات این اصل صورت گرفت که بیشتر آنها نادرست و اغلب متضمن اثبات قضیه‌ای هم‌ارز خود اصل پنجم بودند.
از کسانی که در سنت اسکندرانی برای تعریف یا نظریه‌پردازی دربارۀ اصل توازی تلاش کردند، می‌توان به ارشمیدس (ه م)، پوسیدونیوس (۱۳۵-۴۴ق‌م)، بطلمیوس (ه م)، پرُکلُس (ه م)، اغانیس (که تنها از طریق آثار عربی شناخته شده است)، و سرانجام سیمپلیکیوس (اواخر سدۀ ۵ و نیمۀ نخست سدۀ ۶ م) اشاره کرد.
اصول اقلیدس از جمله آثاری است که با آغاز توجه مسلمانان به آثار یونانی ترجمه شد و از همان ابتدا شروح مختلفی به زبان عربی بر آن نوشته شد(نک : GAS,V/ ۱۰۵-۱۲۰). به نظر برخی «مرحلۀ عربی تاریخ اصول»، دارای متنوع‌ترین وجوه و بیشترین خلاقیت بوده است و در مقام مقایسه، هیچ بحث زنده و خلاقی نظیر متون عربی، دربارۀ اصل توازی و دیگر مقدمات کتاب اصول، در متونی که در سده‌های بعد به لاتینی نوشته شد، دیده نمی‌شود («زندگی‌نامه...[۲]»، IV/ ۴۴۸).
چنان می‌نماید که نخستین نظریه‌پرداز دورۀ اسلامی در زمینۀ خطوط متوازی، عباس بن سعید جوهری (ه م) است که در روزگار مأمون (حک ۱۹۸-۲۱۸ق) در بغداد می‌زیست (قربانی، زندگی‌نامه...، ۲۱۵). او در اثر خود با عنوان اصلاح اصول اقلیدس ــ که ظاهراً بر جای نمانده ــ با ارائۀ ۶ قضیه در اثبات اصل توازی کوشیده است (نک : نصیرالدین، الرسالة...، ۱۸-۲۴). پس از وی به نامهای یعقوب بن اسحاق کندی (د ح ۲۵۲ق/ ۸۶۶م)، بنوموسى و محمدبن عیسى ماهانی (د ح ۲۷۵ق) (ه م‌م) بر می‌خوریم که از تلاشهای آنها در این باره، تنها از طریق رساله‌ای در اثبات اصل توازی از مؤلفی ناشناس (نک : کراوزه، ۵۲۲) و اشاره‌ای از بیرونی (ص ۱۸۰-۱۸۴) آگاهی داریم.
ثابت بن قره (ه م) ضمن اصلاح ترجمۀ اسحاق بن حنین از اصول که به ترجمۀ اسحاق ـ ثابت معروف است، در دو رسالۀ کوچک و با دو روش در اثبات اصل توازی کوشید. او در یکی از این دو روش از مفهوم «حرکت» در اثبات گزارۀ توازی استفاده کرد (نک : صبره، ۱۲ ff.).
ابوالعباس نیریزی (ه م) شرح مفصلی از اصول اقلیدس را فراهم آورد و در اثر خود شرح اصول، روش اثبات اغانیس و برخی از نظریات سیمپلیکیوس را ذکر نمود (ص ۸، ۱۱۸ بب ). وی همچنین در رساله‌ای روش مستقل خود را بیان کرده است (نک : قربانی، ریاضی‌دانان...، ۸۶-۸۷؛ هوخندایک، ۲۵۲ ff.).
از کسانی چون ابوجعفر خازن، یوحنا القس و ابوعبدالله شَنّی (ه م‌م) هم در زمرۀ کسانی که به این مبحث پرداخته‌اند، یاد شده است، اما اثری از روش ایشان بر جای نمانده است (نک : ابن ندیم، ۵۰۵؛ خیام، ۱۷۸؛ نصیرالدین، همان، ۳۸).
ابن هیثم (ه م) در دو اثر مستقل با عنوانهای حل شکوک کتاب اقلیدس فی الاصول و شرح معانیه و شرح مصادرات اقلیدس به مسئلۀ توازی و اثبات اصل توازی پرداخته است. وی از جمله کسانی است که از دیدگاه منطقی ـ فلسفی، برخی از اصول موضوعه (ه م) و نیز تعریف خطوط متوازی اقلیدس را نقد می‌کند (شرح مصادرات...، ۱۶-۱۷). در تعریف توازی، عمدۀ نقد او متوجه قید «نامعلوم» برای امتداد خطوط است که وی در اینجا آن را «بی‌نهایت» تعبیر کرده است. به نظر می‌رسد که ابن‌هیثم مفاهیم اقلیدسی «نامعلوم» و «نامتعین» (نک : هیث، I/ ۲۳۴) را به «نامحدود» یا «بی‌نهایت» تعبیر کرده است و وجود دو خط را که تا بی‌نهایت ادامه یابند، «غیرقابل تخیل» دانسته است (دربارۀ قوۀ خیال، مثلاً نک : ابن‌سینا، النجاة، ۳۴۶: «تخیل، صورت را مجرد و منتزع می‌کند از ماده... نه از لواحق آن»؛ قس: خیام، ۱۸۵). وی با به کارگیری گونه‌ای از «حرکت» ــ که خود ویژگیهای آن را برمی‌شمرد ــ روشی برای «تخیل» دو خط با این وصف ارائه می‌کند و پس از ذکر مقدماتی نتیجه می‌گیرد که قول اقلیدس در تعریف دو خط متوازی نادرست است، اما با این حال، وجود دو خط متوازی ممکن و قابل تخیل است (ابن هیثم، همانجا). البته در متن، او مصادرۀ پنجم را با همان قید «امتداد بغیر نهایة» آورده است (همان، ۳۱-۳۴). در برهان مبسوط او برای اثبات توازی (نک : همان، ۳۴-۴۰) از وجود یک چهارضلعی با ۳ زاویۀ قائمه و زاویۀ چهارم نامعلوم استفاده شده که امروزه به نام چهارضلعی لامبرت (د ۱۷۷۷م/ ۱۱۹۱ق) مشهور است (یوشکویچ، ۱۴۹؛ روزنفلد، ۱۰۴؛ گرینبرگ، ۱۲۷؛ ایوز، ۱۲۶). ابن هیثم در حل شکوک... یادآور شده است که این مصادره با این عبارت که دو خط متقاطع، با یک خط [دیگر]، موازی نیستند، هم‌ارز است، وی این عبارت را معادل اصل پنجم، به صورتی که در اصول اقلیدس آمده، می‌شمارد، جز اینکه آن را از اصل پنجم روشن‌تر، محسوس‌تر و از لحاظ روانی پذیرفتنی‌تر می‌داند (ص ۲۵-۲۶)، اما این نظر او از سوی نصیرالدین طوسی انتقاد می‌شود (نک : الرسالة، ۵، ۷).
خیام (ه م) نیز در اثری با عنوان شرح ما اشکل من مصادرات اقلیدس به این موضوع پرداخته است. او در ابتدا ضمن معرفی اسلاف خود در این زمینه، آراء ایشان را نقد کرده، و در نهایت هیچ‌یک را قابل جایگزینی برای اصل توازی یا اثبات‌کنندۀ آن ندانستـه است. به عنوان نمونه او انتقاداتی ــ اغلب فلسفی ــ را به مقدمات و مبانی برهان ابن هیثم ــ بـه‌ویژه دربـارۀ حرکت ــ وارد می‌کند (ص ۱۷۹-۱۸۰). در ادامۀ کتاب، خیام با ارائۀ ۸ قضیه به اثبات گزارۀ توازی پرداخته است. او هم مانند ابن هیثم از یک چهار ضلعی، و این بار با فرض دو زاویۀ قائمه و دو زاویۀ نامعلوم برای آن، استفاده کرده (ص ۱۸۴ بب ) که امروزه به نام چهارضلعی ساکْری (د ۱۷۳۳م) معروف است (گرینبرگ، ۱۲۵؛ یوشکویچ، ۱۵۱؛ «زندگی‌نامه»، VII/ ۳۲۹؛ ایوز، ۱۲۵-۱۲۶).
حسام‌الدین علی بن فضل‌الله سالار (زنده در ۵۱۳ ق) (نک : قربانی، زندگی‌نامه، ۲۲۶) در رسالۀ کوچکی با عنوان «مقدمات لتبیین المصادرة التی ذکرها اوقلید فی صدر المقالة الاولی فیما یتعلق بالخطوط المتوازیة» با به کارگیری ۶ قضیه به اثبات گزارۀ توازی پرداخته است (ص ۲۸۵-۲۹۴) که شباهت بسیاری به برهان خیام دارد.
پس از او، علم‌الدین قیصر بن ابی‌القاسم حنفی (د ۶۴۹ ق) است که از نقد او بر برهان سیمپلیکیوس (قس: همایی، ۲۹۹) به واسطۀ مکاتباتش با خواجه نصیرالدین طوسی اطلاع داریم (نصیرالدین طوسی، همان، ۳۶ بب ).
قاضی‌زادۀ رومی (ه م) برهانی از اثیرالدین ابهری (ه م) را که بی‌شباهت به روش سیمپلیکیوس نیست، در شرح خود بر اَشکال التأسیس شمس‌الدین سمرقندی (د ح ۶۷۵ ق) آورده است (نک : ص ۱۱۹-۱۲۵). اثیرالدین ابهری تحریری از اصول با عنوان اصلاح اصول اقلیدس نیز فراهم آورده که متضمن برهان دیگر او در اثبات اصل توازی است (گ ۱۷ ر ـ ۲۰ ر). این برهان دقیقاً با اثبات دیگری برای اصل توازی که ضمن تحریری از اصول اقلیدس به سال ۱۵۹۴م در رم به چاپ رسیده، و اشتباهاً به نصیرالدین طوسی منتسب شده، منطبق است ( تحریر اصول...، چ ر م، ۲۸-۳۳؛ نیز نک : ه د، ۶/ ۵۸۷). این چاپ که همچنان شهرت انتساب به نصیرالدین طوسی را حفظ کرده، به جهت استناد توسط جان والیس و پس از او ساکری از شهرت بسیاری برخوردار است و از این‌رو برخی این اثر را تأثیرگذارترین کتاب دورۀ اسلامی در پیدایش هندسۀ نااقلیدسی دانسته‌اند (روزنفلد، ۱۷، ۱۴۷-۱۴۹؛ نیز نک : دنبالۀ مقاله).
نصیرالدین طوسی (ه م) افزون بر تحریر اصول اقلیدس که برهان او را دربارۀ توازی دربر دارد (چ سنگی، ص ۱۶-۲۲)، رسالۀ مستقلی در این باب با عنوان الرسالة الشافیة عن الشک فی الخطوط المتوازیة تصنیف کرده است. او در این کتاب نخست همانند خیام، اقوال برخی پیشینیان از جمله ابن هیثم، خیام و جوهری را آورده، و نقد کرده است (نک : ص ۵-۷، نیز ۷-۱۷، ۱۸-۲۴) و آنگاه همین برهان را به طور مبسوط در ۸ قضیه بیان کرده است (ص ۲۶-۳۴). گرینبرگ از کار نصیرالدین طوسی به عنوان مهم‌ترین تلاش پس از پرکلس تا جان والیس (۱۷۰۳م) برای اثبات اصل توازی نام برده است (ص ۱۲۳).
محیی‌الدین مغربی (نک : ه د، ابن ابی‌الشکر) نیز تحریری از اصول نوشته است و دو برهان بر این قضیه در دو اثر خود آورده که مشابه روش ابن هیثم و نصیرالدین طوسی است (روزنفلد، ۱۶۵-۱۶۸).
ظاهراً قطب‌الدین شیرازی (ه م) آخرین هندسه‌دان مسلمان است که در این زمینه اظهار نظر کرده، و شرح روش خود را در دُرة التاج آورده است (گ ۱۰۵ ر ـ ۱۰۵ پ؛ قس: روزنفلد، ۱۶۹ بب ).
در سده‌های ۷-۱۳ق/ ۱۳-۱۹م برخی از آثار دورۀ اسلامی دربارۀ نظریۀ خطوط موازی توسط اروپاییان اقتباس گردیده، و یا به نقد کشیده شده، و گاه تأثیرات غیرقابل انکاری بر نظریات ایشان داشته است که در ادامه برخی از شواهد آن ارائه می‌گردد:
ویتلو (سدۀ۱۳-۱۴م)، از مردم لهستان در رسالۀ «نورشناخت[۳]» خود که تحت تأثیر ابن هیثم نگاشته، و ریزنِر آن را در ۱۵۷۲م در بازل به ضمیمۀ ترجمۀ لاتینی المناظر ابن هیثم به چاپ رسانده است، برهانی بر مصادرۀ پنجم با تأثیر از براهین دورۀ اسلامی آورده است، هرچند سطح بسیار پایین‌تری نسبت به آنها دارد (اشتاین اشنایدر، ۸۲؛ روزنفلد، ۱۷۴-۱۷۵). لِوی بن گرسون (د ۱۳۴۴م) و آلفونسو اهل وایادولید (د ۱۳۴۶م) در آثار خود که به زبان عبری است، برهانهایی همانند براهین ثابت بن قره، ابن هیثم و خیام ارائه داده‌اند. آلفونسو برهان اغانیس را با عنوان برهان نیریزی نقد کرده، سپس برهان خود را به پیروی از ثابت ابن قره و ابن هیثم آورده است (همو، ۱۷۵-۱۷۹). مورد دیگر گریسوگونو (۱۴۷۲-۱۵۳۸م)، هندسه‌دان اهل یوگسلاوی است که در فصل ۹ از رساله‌اش به خطوط متوازی پرداخته، و در آن آثار بسیاری از هندسه‌دانان اسلامی را آورده، و نقد کرده است (همو، ۱۸۰).
در۱۵۷۴م کریستف کلاویوس، کشیش یسوعی برهان تازه‌ای بر توازی در ضمن شرح خود بر اصول اقلیدس عرضه کرد. او نام مشخصی از هندسه‌دانان اسلامی یاد نکرده، اما نوشته است که: «من می‌دانم که نظیر این برهان در برخی شروح اقلیدس به زبان عربی نیز آمده، اما هرگز فرصت خواندن آن را نداشته‌ام، هرچند نزد کسانی که اقلیدس را به عربی می‌دانسته‌اند، بارها شاگردی کرده‌ام». برهان او نیز به برهان ثابت بن قره و ابن هیثم شباهت بسیار دارد؛ همچنان‌که از چهارضلعی خیام نیز سود برده است (همو، ۱۸۱).
در آغاز سدۀ ۱۷م دو اثر از پیترو کاتالدی (۱۵۴۸-۱۶۲۶م) دربارۀ اصول توازی منتشر شد. او در مقدمات برهان خود از گزاره‌ای که خیام آن را به ارسطو نسبت داده، استفاده کرده است (همو، ۱۸۳). جاکومو آلفونسو بورلّی (۱۶۰۸-۱۶۷۹م) در اثر خود، «احیاء اقلیدس[۴]» همانند ثابت بن قره و ابن هیثم از مفهوم «حرکت» بهره گرفت (همو، ۱۸۳-۱۸۴). ویتاله جوردانو (۱۶۳۳-۱۷۱۱م) در کتابی به ایتالیایی که آن نیز «احیاء اقلیدس[۵]» نام دارد، متعرض خیام شده، و از این طریق برهانی بر مصادرۀ پنجم ارائه کرده است (همو، ۱۸۴).
جان والیس (۱۶۱۶-۱۷۰۳م) در بخش دوم از رسالۀ خود با عنوان «برهانهای هندسی بر مصادرۀ پنجم»، ترجمۀ ادوارد پوکاک از برهان مصادرۀ پنجم مذکور در تحریر منسوب به نصیرالدین طوسی را آورده، و در بخش سوم نیز برهان مستقل خود را با پیشنهاد اصلی جایگزین کرده، و استفاده از مفهوم حرکت را با تأسی به ابن قره و ابن هیثم ارائه کرده است (همو، ۱۸۵-۱۸۶؛ گرینبرگ، ۱۲۳-۱۲۵).
جیرو لامو ساکری (۱۶۶۷-۱۷۳۳م) که «کشف ناخودآگاه» هندسۀ نا اقلیدسی به او نسبت داده می‌شود، بر این اثر والیس دست یافت و در کتاب خود با عنوان «اقلیدس عاری از هرگونه نقص[۶]» هر دو برهان منسوب به نصیرالدین طوسی و والیس را به نقد کشید و چهارضلعی خیام را با همان حالت‌بندیهای او ارائه کرد (روزنفلد، ۱۸۶؛ گرینبرگ، ۱۲۵-۱۲۷؛ قس: «زندگی‌نامه»، XII/ ۵۶: ۳ تا از این چهارضلعیها توسط خیام و نصیرالدین طوسی بررسی شده بودند) که امروزه با نام وی شناخته می‌شوند. پس از او یوهان هاینریش لامبرت (۱۷۲۸-۱۷۷۷م) اثر ساکری و مؤلفان پس از او را مستقیماً یا دست‌کم از طریق رسالۀ دکتری کلوگل که جامع بسیاری از براهین پیش از خود بود، به دست آورد. او هم در کارهای خود از چهارضلعیهای پیش‌گفته بهره برد (گرینبرگ، ۱۲۷).
در سدۀ ۱۹م هندسه‌های نااقلیدسی توسط هندسه‌دانانی نظیر گاوس (۱۷۷۷-۱۸۸۵م)، یانوش بویویی (۱۸۰۲-۱۸۶۰م)، و نیکلای لباچفسکی (۱۷۹۲-۱۸۵۶م) ابداع شدند که در همۀ آنها تمامی مقدمات اقلیدس به جز اصل توازی پذیرفته می‌شد و سرانجام در ۱۸۶۸م بلترامی ثابت کرد که اصل توازی به وسیلۀ دیگر مقدمات و قضایای اقلیدس قابل اثبات نیست؛ از این‌رو در فضای هندسۀ اقلیدسی همواره به یک اصل توازی یا اصلی هم‌ارز آن نیازمندیم (گرینبرگ، ۱۸, ۱۴۰-۱۴۷, ۱۷۸ ff.).
مآخذ
ابن‌سینا، النجاة، به کوشش محمدتقی دانش‌پژوه، تهران، ۱۳۶۴ش؛ ابن‌ندیم، الفهرست، به کوشش فلوگل، لایپزیگ، ۱۸۷۱-۱۸۷۲م؛ ابن هیثم، حسن، حل شکوک کتاب اقلیدس فی الاصول و شرح معانیه، به کوشش فؤاد سزگین، فرانکفورت، ۱۹۸۵م؛ همو، شرح مصادرات اقلیدس، به کوشش فؤاد سزگین، فرانکفورت، ۲۰۰۰م؛ اثیرالدین ابهری، مفضل، اصلاح اصول اقلیدس، نسخۀ خطی شم ۵۴۰ کتابخانۀ سپهسالار؛ بیرونی، ابوریحان، استخراج الاوتار فی الدائرة، حیدرآباد دکن، ۱۳۶۷ق/ ۱۹۴۸م؛ حسام‌الدین علی بن فضل‌الله سالار، «مقدمات لتبیین المصادرة التی ذکرها اوقلید فی صدر المقالة الاولی فیما یتعلق بالخطوط المتوازیة»، چ تصویری همراه خیامی‌نامه، به کوشش جلال‌الدین همایی (نک : همایی)؛ خیام، «شرح ما اشکل من مصادرات کتاب اقلیدس»، همراه خیامی‌نامه (نک : هم ، همایی)؛ روزنفلد، ب. ا. و ا. پ. یوشکویچ، نظریة الخطوط المتوازیة فی المصادر العربیة مابین القرنین الثالث و الثامن للهجرة، ترجمۀ سامی شلهوب و کمال نجیب عبدالرحمان، حلب، ۱۴۰۹ق/ ۱۹۸۹م؛ قاضی‌زادۀ رومی، شرح بر اشکال التأسیس سمرقندی، به کوشش محمد سویسی، تونس، ۱۹۸۴م؛ قربانی، ابوالقاسم، ریاضی‌دانان ایرانی، تهران، ۱۳۵۰ش؛ همو، زندگی‌نامۀ ریاضی‌دانان دورۀ اسلامی، تهران، ۱۳۶۵ش؛ قطب‌الدین شیرازی، محمود، درة التاج، نسخۀ خطی شم ۵۶۰ کتابخانۀ سپهسالار؛ نصیرالدین طوسی، تحریر اصول اقلیدس، چ سنگـی، تهران، ۱۲۹۸ق؛ همـان، رم، ۱۵۹۴م؛ همو، الرسالة الشافیة عن الشک فی الخطوط المتوازیة، حیدرآباد دکن، ۱۳۵۹ق؛ نیریزی، فضل، شرح اصول اقلیدس، به کوشش هایبرگ، لایپزیگ، ۱۸۹۹م؛ همایی، جلال‌الدین، خیامی‌نامه، تهران، ۱۳۴۶ش؛ نیز:
Dictionary of Scientific Biography, New York, ۱۹۷۱; GAS; Greenberg, M. J., Euclidean and non-Euclidean Geometries, San Francisco, ۱۹۸۰; Heath, Th. L., The Thirteen Book of Euclid’s Elements, New York, ۱۹۵۶; Hogendijk, J. P., «Al-Nayrīzī’s Own Proof of Euclid’s Parallel Postulate», Sic Itur ad Astra. Studien zur Geschichte der Mathematik und Naturwissenschaften, Wiesbaden, ۲۰۰۰; Eves, H., An Introduction to the History of Mathematics, New York, ۱۹۶۹; Juschkewitsch, A. and B. A. Rosenfeld, Die Mathematik der länder des ostens im mittelalter, Berlin, ۱۹۶۳; Krause, M., «Stambuler handschriften islamischer mathematiker», Quellen und Studien zur geschichte der mathematik, astronomie und physic, Frankfurt, ۱۹۳۶; Sabra, A. I., «Thabit ibn Qurra on Euclid’s Parallels Postulate», Journal of the Warburg and Coutauld Institutes, London, ۱۹۶۸, vol. XXXI; Steinschneider, M., Die Europäischen Übersetzungen aus dem Arabischen bis Mitte des ۱۷. Jahrhunderts, Graz, ۱۹۵۶.
محمدحسین احمدی