تسبیع دایره

تَسْبیعِ دایِره، تقسیم محیط دایره به 7 کمان برابر، یا ساخت(ترسیم) 7 ضلعی منتظم که در سدۀ 4ق/ 10م بسیاری از دانشمندان دورۀ اسلامی را به خود مشغول ساخت. در سنت ریاضیات اسلامی، رساله‌ای در این باب به ارشمیدس (ه‍ م) منسوب شده که ابن ندیم از آن با عبارت «کتاب تسبیع الدائرة در یک مقاله» یاد کرده است (ص 266). اما ریاضی‌دانان دورۀ اسلامی غالباً در عنوان یا متن آثاری که در این باب نوشته‌اند، از اصطلاحاتی چون «عمل المسبع المتساوی الاضلاع فی الدائرة» و «عمل المسبع فی الدائرة» و «استخراج ضلع المسبع المتساوی الاضلاع» بهره گرفته‌اند (نک‍‍ ‌‎‎‌‍‍‍‍‍‍‍‍‎: ‎‎‎‎‎‎‍::::فهرست مآخذ همین مقاله). اما ابوالجود (ه‍ ‌م) به رغم به‌کارگیری عبارات یادشده، به «توانایی ابوحامد صاغانی در [مسئلۀ] تسبیع و دیگر مسائل هندسی» اشاره کرده («الدلالة...»، 721)، و کمال‌الدین ابن یونس (ه‍ ‌م) نیز هم در عنوان رسالات خود و هم هنگام اشاره به رسالۀ منسوب به ارشمیدس و نیز رساله‌ای از ابوسعید سجزی، از همان اصطلاح تسبیع دایره بهره برده است (ص885 ، 891).
در متون یونانی، نشانه‌ای از نگارش چنین رساله‌ای توسط ارشمیـدس نمی‌توان یافت. از روایت عربی رایج در دورۀ اسلامی نیز تنها تحریری نوین که فردی فاضل به نام مصطفى صدقی ابن صالح در 1153ق/ 1740م با عنوان «عمل الدائرة المقسومة بسبعة اقسام متساویة لارشمیدس» فراهم آورده، به دست ما رسیده است. وی چنان که خود گوید: نسخه‌ای بسیار مغلوط از رسالۀ ارشمیدس در این باره را به ترجمۀ ثابت بن قره در یک مقاله و 18 شکل (قضیه یا مسئله) یافته، و پس از اصلاح متن، برخی براهین متأخران همچون ابوعلی حبوبی و شنی (نک‍ : «عمل الدائرة...»، 667-675) را نیز بدان افزوده است (دربارۀ تغییرات اعمـال شده توسط مصطفـى صدقی، نک‍ : هـوخندایک، 208). در ایـن رساله تنهـا دو مسئلـۀ 17 و 18 بـه تسبیـع دایره مربوط مـی‌شوند («عمل الدائـرة»، 687-689؛ نیـز: هوخندایـک، 204).
قضیۀ 17 این رساله که لم یا قضیۀ مقدماتی تسبیع دایره (قضیۀ 18) محسوب می‌شود، بدین قرار است: در مربع معلوم ABCD یک سر خط‌کش را روی نقطۀ D قرار می‌دهیم و آن‌را چنان حرکت می‌دهیم که محل تقاطع آن با امتداد AB (که آن را Z می‌نامیم) چنان باشد (یا به تعبیر روشن‌تر: نقطۀ Z را روی امتداد AB چنان انتخاب می‌کنیم) که مساحت دو مثلث DTC و AZH (و نه خـود آنها) با یکدیگر برابر شـود. سپس از نقطۀ T ــ محل تلاقی این خط و قطر BC ــ خطی به موازات BD رسم می‌کنیم تا AB و CD را به ترتیب در K و L قطع کند. در این صورت خواهیم داشت: 1.  ؛ 2.  ؛ 3. AZ و KB هر دو از AK بزرگ‌ترند (از روابط 1 و 2 نتیجه می‌شود: AK

در قضیۀ 18 ابتدا روی پاره‌خط معلوم ZB نقاط A و K چنان انتخاب می‌شوند که روابط فوق برقرار باشد (استفاده از قضیۀ 17) و از آنجا یک ضلع 7 ضلعی منتظم به دست می‌آید. در این ترسیم در نهایت روی پاره خط معلوم ZB مثلث ZBE چنان ساخته می‌شود که زوایای Z، B و E به ترتیب 7/ π ،   

7/ 2π  و   7/ 4π باشد (نک‍ : «عمل الدائرة»، 689، 691؛ نیز نک‍ : شوی، «تعلیمات...»، 82-84، «پژوهشها...»، 36-38؛ تروپفکه، «دربارۀ...»، 196-197، «تسبیع...»، 648-649، «ارشمیدس...»، 451-452؛ کلاگت، 224-225؛ هوخندایک، 199: نقد ترجمه‌های اروپایی قبلی، نیز 204-208: ترجمۀ انگلیسی؛ راشد،329-330, 686-690).

در این روش ترسیم 7 ضلعی منوط است به یافتن یکی از دو نقطۀ A یا K روی پاره خط معلوم ZB یا یافتن یکی از نقاط K یا Z روی پاره‌خط معلوم AB یا امتداد آن به وجهی که روابط 1 و 2 برقرار باشد. در واقع ارشمیدس یا هر که نگارندۀ این رساله بوده، مسئلۀ تسبیع دایره را ــ همچون مسئلۀ مارپیچ (که این یکی کار خود ارشمیدس است) ــ به یک مسئلۀ میل (ترسیم DZ با شرط گفته شده) تبدیل کرده است، بی‌آنکه روش کار را روشن کند (کنور، 187؛ کلاگت، 225؛ هوخندایک، 200).
به نظر هوخندایک بسیار بعید است ریاضی‌دانی چون ارشمیدس برای یافتن نقاط A و K روی ZB با شرایط یادشده به قضیۀ 17 متوسل شود، زیرا این دو نقطه را به سادگی می‌توان با استفاده از قطعهای مخروطی به دست آورد. البته وی سرانجام در اینکه اصل این روش به یونانیان باز می‌گردد، تردید نمی‌کند (ص 213). اما این را نیز باید در نظر داشت که خود ارشمیدس نیز در قضیۀ چهارم از مقالۀ دوم رسالۀ «در کره و استوانه» که به تقسیم پاره خطی با شرایط خاص، نیاز دارد و آن نیز به استفاده از قطعهای مخروطی می‌انجامد، مسئله را حل‌شده، پذیرفته بود (نصیرالدین، 89 بب‍ ؛ ابن هیثم، «قسمة...»، 491). بیشتر ریاضی‌دانان مسلمان نیز هنگام اشاره به «حل‌شده فرض شدن ترسیم خط DZ در مسئلۀ تسبیع» غالباً به این نکته نیز اشاره کرده‌اند (ابوالجود، «عمل المسبع...»، 695؛ سجزی، 741؛ صاغانی، 813؛ کوهی، «عمل ضلع... »، 793؛ شنی، 833-835؛ ابن هیثم، «مقدمة...»، 439؛ ابن یونس، 885). 

تسبیع دایره در دورۀ اسلامی

در اواخر سال 358ق/ 969م ابوالجود محمد بن لیث با تلاش برای ترسیم مثلث متساوی الساقینی که یک زاویۀ آن  7/  π و دو زاویۀ دیگر 7/ 3π  باشد، روشی نو در پیش گرفت. او نیز ترسیم این مثلث را به یافتن دو نقطه با شرایطی خاص روی یک پاره خط موکول کرد و به گمان خود، این دو نقطه را با استفاده از تقاطع یک سهمی و شاخه‌ای از یک هذلولی یافت. پس رساله‌ای در این باب به ابوالحسین عبیدالله بن احمد نوشت و سواد این رساله را نیز به ابومحمد عبدالله بن علی حاسب فرستاد (ابوالجود، «الدلالة»، 719-721، «عمل المسبع»، 695، 703). ابوسعید سجزی پس از به دست آوردن نسخـه‌ای از این رساله که امروزه نشانه‌ای از آن در دست نیست، دریافت که ابوالجود در نیمۀ دوم کار خود اشتباهـی مرتکب شده است. اما چـون خود نتوانست راه درست یافتن آن دو نقطـه را بیابد، از ابوالعلاء بن سهل کمک خواست و سرانجام با تکمیل کار توسط این یک، روش ابداعی ریاضی‌دانان مسلمان برای تسبیع دایره کامل شد (سجزی، 741-749؛ شنـی، 839-843؛ نیز انبوبا، 80-84؛ هوخندایک، 242-256؛ راشد، 331ff. ؛ برای تفصیـل ماجـرا، نک‍ : ه‍ ‌د، 5/ 303-304).
اندکی بعد، ابوحامد صاغانی به همان قضیۀ مقدماتی ارشمیدس پرداخت و برای ترسیم آن خط با شرط یاد شده از 3 قطع مخروطی دو تا متقابل (دو شاخۀ یک هذلولی) و دیگری یک شاخه از هذلولی دیگر که یکی از آن دو شاخۀ هذلولی نخست را قطع می‌کرد، بهره گرفت و حاصل کار را در شوال 360/ اوت 971 در رساله‌ای به عضدالدولۀ بویهی تقدیم کرد (نک‍ : ص 813-829؛ ابوالجود، «الدلالة»، 713، «عمل المسبع»، 697؛ شنی، 839؛ نیز هوخندایک، 222-223). در واقع او با یافتن روشی برای ترسیم خط DZ در مقدمۀ ارشمیدس روش وی را تکمیل کرد. اما ابوسهل کوهی به تعبیر ابوالجود «مربع ارشمیدس و ترسیم آن دو مثلث متساوی را رها کرد و به آن چیزی پرداخت که علت این ترسیم بود، یعنی تقسیم پاره‌خطی به همان نسبتهای مخصوص». وی نخست در رسالۀ «استخراج ویجن بن رستم... فی عمل المسبع المتساوی الاضلاع فی الدائرة المعلومة» (یا استخراج ضلع المسبع) برای عضدالدوله و سپس در رسالۀ «عمل ضلع المسبع المتساوی الاضلاع فی الدائرة» خطاب به فرزند او ابوالفوارس، به دو روش و با استفاده از یک هذلولی و یک سهمی متقاطع دو نقطۀ مورد نیاز در روش ارشمیدس را به دست آورد (کوهی، «استخراج...»، 765-785، «عمل ضلع»، 793-809؛ ابوالجود، «الدلالة»، 711، 713، «عمل المسبع»، 695، 697؛ شنی، همانجا؛ ابن هیثم، «عمل المسبع»، 455؛ نک‍ : هوخندایک، 232-234).
از سخنان ابوالجود دربارۀ این دو (و در نتیجه از برخی نقل قولهای شنی از این یک)، چنین برمی‌آید که صاغانی ــ پس از آنکه ابوسهل مقدمۀ ارشمیدس را کنار گذاشت ــ رسالۀ خود را نوشته است. در حالی که اگر چنین بود، آنگاه مستدل ساختن مقدمۀ ارشمیدس آن هم با آن تفصیل که در رسالۀ صاغانی آمده است، لطفی نداشت. از طرفی خود ابوالجود گفته است که ابوسهل سالها پس از نخستین رسالۀ ابوالجود (رسالۀ مفقود 358ق/ 969م) به تسبیع دایره پرداخته است («عمل المسبع»، 695: ثم عمل بعد ذلک ... بعد ما عملته بسنین غیر قلیلة)، در حالی که صاغانی، چنان که گفته شد در 360ق رسالۀ خود را به پایان رسانده است (نیز نک‍ : هوخندایک، 268-269).
در یکی از آثار منسوب به ابوسهل کوهی که تنها تحریری مجهول المحرر از آن با عنوان «فی تثلیث الزاویة و عمل المسبع المتساوی الاضلاع» به دست ما رسیده (جنگ شم‍ 3 مجموعۀ تورستون، کتابخانۀ بادلیان)، هفت‌ضلعی منتظم با همان روش «ابوالجود ـ علاء بن سهل ـ سجزی» و ظاهراً با استفاده از رسالۀ سابق الذکر سجزی ترسیم شده ‌است (همو، 256, 277 ). از برخی اشارات ابوالجود می‌توان دریافت که نگارش این رساله توسط ابوسهل موجب شده بود که برخی وی را ابداع‌کنندۀ روش جدید تسبیع بدانند (ابوالجود، همان، 697). اما ابوالجود پس از آگاهی از اشتباه راه یافته به رسالۀ نخست خود (با استفاده از حاصل کار ابوسعد علاء بن سهل و سجزی یا مستقلاً؟) روش اصلاح‌شده را همراه با شرحی بر روشهای صاغانی و کوهی برای ابومحمد عبدالله بن علی حاسب نوشت. سپس شنی پاسخی کینه‌توزانه به وی داد و در آن سجزی را نیز به انتحال روش ابوالعلاء بن سهل متهم ساخت (شنی، 845).
سرانجام ابوالجود، در «عمل المسبع فی الدائرة» خطاب به ابوالحسن احمد بن محمد بن اسحاق غادی، افزون بر تکرار روش اصلاح‌ شدۀ خود، همچون ابوسهل کوهی، دو نقطۀ مورد نیاز در روش ارشمیدس را مستقیماً به دست آورد (ص 697، 703، جم‍ ؛ نیز نک‍ : هوخندایک، 223-224)
به رغم تألیف رسالات متعددی دربارۀ تسبیع دایره در ربع سوم سدۀ 4ق، این مسئله در اواخر سدۀ 4 یا اوایل سدۀ 5ق همچنان برای ریاضی‌دانی بزرگ چون ابن هیثم (ه‍ م) جالب توجه بود. وی نخست در رسالۀ «مقدمة ضلع المسبع» چگونگی ترسیم خطی را که ارشمیدس آن را رسم‌شده فرض کرده بود، مشخص کرده است (ص 439، 445، جم‍ ؛ نیز هوخندایک، 226-227). ابن هیثم در رسالۀ دیگر خود با اشاره به فعالیتهای ابوسهل کوهی و نیز ابوحامد صاغانی (البته بی‌آنکه از این یک یاد کند)، این بار نقاط مورد نیاز برای ترسیم مثلث ارشمیدس را با روشهای مختلف و مستقیماً پیدا کرده است («عمل المسبع»، 455، جم‍ ؛ نیز هوخندایک، 234-237). از سکوت وی دربارۀ روش پیشنهادی ابوالجود پیدا ست که وی رسالات مرتبط با روش جدید را در دست نداشته است.
در زمینۀ تسبیع دایره رسالۀ دیگری نیز از ریاضی‌دانی به نام نصـربن‌عبداللـه ــ کـه روزگار وی چندان روشـن نیست ــ بـه‌ دست ما رسیده که در آن همچون ابن‌ هیثم و کوهی بدون به‌کارگیری مقدمۀ ارشمیدس به تسبیع دایره پرداخته است (ص 867-873). کمال‌الدین ابن یونس، احتمالاً آخرین ریاضی‌دان قابل ذکری است که دربارۀ تسبیع دایره به تحقیق پرداخته، او نیز در نامه‌ای خطاب به شاگرد ریاضی‌دانش، محمد بن حسین به تبیین مقدمۀ ارشمیدس پرداخته است (ص885-893). 
جالب آنکه، خیام در رسالۀ بی‌نامی که دربارۀ حل معادلات جبری نوشته، آورده است که ابونصر منصور بن عراق (ه‍ م) مقدمۀ ارشمیدس را .... با به‌کارگیری اصطلاحات جبری به معادلۀ «مکعب و مالهایی که برابر اعدادی است» ( ) برگرداند و این معادله را به وسیلۀ قطوع مخروطی حل کرد (نک‍ : ص 288؛ ریشه‌های این معادله را می‌توان با استفاده از یک سهمی و یک هذلولی متقاطع به دست آورد). چنان که گفته شد، ریاضی‌دانان مسلمان سده‌های 4و5‌ق نیز برای تقسیم با شرایط مذکور در هر دو روش ارشمیدس و ابوالجود (که هر دو آنها از نظر جبری معادل است با حل معـادله‌ای به صورت  )، نیز از همین دو قطع مخروطی استفاده کرده‌ بودند. 

‏مآخذ

ابن ندیم، الفهرست، به کوشش فلوگل، لایپزیگ، 1871-1872م؛ ابن هیثم، حسن، «عمل المسبع فی‌ الدائرة»، «قسمة الخط الذی استعمله ارشمیدس فی المقالة الثانیة فی الکرة و الاسطوانة»، «مقدمة ضلع المسبع»، به کوشش رشدی راشد (نک‍ : مل‍ ، راشد)؛ ابن یونس، کمال‌الدین، «البرهان على ایجاد المقدمة التی اهملها ارشمیدس فی‌کتابه فی تسبیع الدائرة و کیفیة ذلک»، به‌کوشش رشدی راشد (نک‍ :‍ مل‍ ، راشد)؛ ابوالجود، محمد، «الدلالة على طریقی الاستاذ ابی سهل القوهی المهندس و شیخه ابی حامد الصاغانی و طریقه (ابوالجود) التی سلکها فی عمل المسبع المتساوی الاضلاع فی الدائرة»، «عمل المسبع فی الدائرة»، به کوشش رشـدی راشد (نک‍ : مل‍ ، راشد)؛ انبوبا، عادل، «قضیة هندسیة و مهندسون فی القـرن الرابع الهجری، تسبیع الدائرة»، مجلة تاریخ العلوم العربیة، حلب، 1977م، س 1، شم‍ 2؛ خیام، «رساله در تحلیل یک مسئله» [عنوان برگزیدۀ مصاحب است]، چ تصویری نسخۀ منحصر‌به‌فرد کتابخانۀ مرکزی دانشگاه، به کوشش غلامحسین مصاحب، حکیم عمر خیام به عنوان عالم جبر، تهران، 1339ش؛ سجزی، احمد، «عمل المسبع فی الدائرة و قسمة الزاویة المستقیمة الخطین بثلاثة اقسام متساویة»، به کوشش رشدی راشد (نک‍ : مل‍ ، راشد)؛ شنی، محمد، «کشف تمویه ابی الجود فی امر ما قدمه من المقدمتین لعمل المسبع بزعمه»، به کوشش رشدی راشد (نک‍ : مل‍ ، راشد)؛ صاغانی، احمد، «رسالة الى ملک الجلیل عضدالدولة بن ابی علی رکن‌الدولة»، به کوشش رشدی راشد (نک‍ : مل‍ ، راشد)؛ «عمل الدائرة المقسومة بسبعة اقسام متساویة لارشمیدس»، تحریر نوین مصطفى صدقی، به کوشش رشدی راشد (نک‍ : مل‍ ، راشد)؛ کوهی، ابوسهل، «استخراج ویجن بن رستم المعروف بابی سهل القوهی فی عمل المسبع المتساوی الاضلاع فی الدائرة المعلومة (یا استخراج ضلع المسبع)»، «عمل ضلع المسبع المتساوی الاضلاع فی الدائرة»، به کوشش رشدی راشد (نک‍ : مل‍ ، راشد)؛ نصر بن عبدالله، «استخراج وتر المسبع»، به کوشش رشدی راشد (نک‍ : مل‍ ، راشد)؛ نصیر‌الدین طوسی، تحریر الکرة و الاستوانة، حیدرآباد دکن، 1359ق؛ نیز:

Clagett, M., «Archimedes», Dictionary of Scientific Biography, ed. Ch. C. Gillispie, New York, 1970, vol. I; Hogendijk, J.P., «Greek and Arabic Constructions of the Regular Heptagon», Archive for History of Exact Sciences, 1984, vol. XXX; Knorr, W. R., The Ancient Tradition of Geometric Problems, New York, 1986; Rashed, R., Les mathé-matiques infinitésimales du IXe au XIe siècle, Ibn Al-Haytham, London, 2000, vol. III; Schoy, C., «Graeco-Arabische Studien nach mathematischen Handschriften der Viseköniglichen Bibliothek zu Kairo», Isis, 1926, vol. VIII; id. , Die Trigonometrischen Lehren des Persischen Astronomen Abu’l-Raihân Muh. ibn Ahmad al-Bîrûnî, ed. J. Ruska and H. Wieleitner, Hannover, 1927; Tropfke , J., «Archimedes und die Trigonometrie», Archiv für Geschichte der Mathematik der Naturwissenschaften und der Technik, Berlin, 1928, vol. X; id, «Zur Geschichte der Mathematik», Zeitschrift für mathematischen und naturwissenschaftlichen Unterricht aller Schulgattungen, Leizpig/ Berlin, 1928, vol. LIX; id, «Die Siebeneckabhandlung des Archimedes», Osiris, 1936, vol. I.
یونس کرامتی