خوارزمی، ابوعبدالله محمد بن موسى

خوارَزْمی، ابوعبدالله محمد بن موسى، ریاضی‌دان، اخترشناس و جغرافی‌دان نامدار ایرانی نیمۀ دوم سدۀ 2 ق / 8 م و ربع نخست سدۀ 3 ق / 9 م.

زندگی‌نامه

به‌رغم آوازۀ بلند خوارزمی و جایگاه ویژه‌اش در تاریخ علم، از زندگی او جز اشاراتی کوتاه یافت نشده است. خوارزمی در مقدمۀ الجبر و المقابلة، از مأمون (حک‍ 198- 218 ق / 814-833 م) به نیکی یاد کرده و توجه او به اهل علم را مشوق خود در نگارش این کتاب دانسته است (ص 15-16). براساس آنچه صاعد اندلسی به نقل از زیج نظم العقد، نوشتۀ ابن‌الآدمی (تنظیم نهایی در 330 ق / 942 م) آورده است، فزاری (ه‍ م) در 156 ق / 773 م روایتی عربی از زیجی هندی فراهم آورد که به سند هند مشهور شد (نک‍ : ه‍ د، ترجمه) و بیشتر مردم (اخترشناسان) بدان عمل می‌کردند، تا آنکه «ابوجعفر [کذا] محمد ‌بن موسى خوارزمی» آن زیج را برای مأمون خلاصه کرد و از آن زیجی بیرون آورد که در سرزمینهای اسلامی پرآوازه شد (ص 216-217؛ نیز نک‍ : قفطی، 270-271). ابن‌‌ندیم نیز نام او را محمد بن موسى، و اصلش را از خوارزم دانسته و گفته است: «پیوسته در خزانة الحکمۀ (نک‍ : ه‍ د، بیت الحکمه) مأمون بود و از پردازندگان به هیئت به شمار می‌آمد و مردم پیش از رصدِ [روزگار مأمون] و پس از آن بر دو زیج اول و دوم او که به سند هند مشهور بود، اعتماد داشتند» (ص 333؛ نیز نک‍ : ابن‌عبری، 237؛ قفطی، 286). بیرونی نیز آورده است که خوارزمی در 213 ق برابر با 197 یزدگردی در شماسیه شاهد رصد میل اعظم توسط یحیی بن ابی‌منصور بود (نک‍ : تحدید ... ، 90). در رسالۀ فی استخراج تاریخ الیهود خوارزمی (نک‍ : دنبالۀ مقاله، بخش نجوم) سال 1135 سلـوکی (برابر با 208 یا 209 ق) برای مثـال آمده است که چه‌بسا تاریخ تقریبی نگارش این رساله باشد. طبری نیز به نقل از خوارزمی تاریخ بازگشت مأمون از اردوگاه حسن بن سهل به بغداد را «9 روز مانده از شوال سال 210» آورده است (5 / 172).
همۀ این شواهد به روزگار خلافت مأمون مربوط می‌شوند، اما در رساله‌ای دربارۀ ساعت آفتابی منسوب به خوارزمی جدولی برای عرض سامرا آمده است که اگر آن را از خوارزمی بدانیم، باید درگذشت او را پس از 221 ق (سال تأسیس شهر سامرا و انتخاب آن به‌عنوان مرکز خلافت) دانست، اما دیوید کینگ در درستی این انتساب تردید کرده است (نک‍ : I / 84-85, II / 82؛ برای تفصیل، نک‍ : دنبالۀ مقاله، بخش نجوم). از این گذشته، بلاذری 3 بار با عبارت «حدثنی محمد بن موسی الخوارزمی» (و بار نخست با یادکرد لقب «الحاسب») آنچه را که از خوارزمی شنیده بود، آورده است (4 / 207، 264، 265) که با توجه به زمان زندگی بلاذری (190- ح 279 ق / 806-892 م)، تاریخ آن به 210 ق / 825 م یا پس از آن باز‌می‌گردد.
در برخی از متون اسلامی، کنیۀ خوارزمی به جای «ابوعبدالله»، «ابوجعفر» آمده و گاه نیز میـان او و ابوجعفر محمد‌ بن موسی بن شاکر (نک‍ : ه‍ د، بنی‌موسى) خلط شده است. اما به ‌نظر می‌رسد که غالب مورخان دورۀ اسلامی برای متمایز‌ساختن این دو، یکی را با تأکید بر نسبت خوارزمی، و دیگری را یا با تأکید بر نام نیا (شاکر) یا با صفت «منجم» می‌خوانده‌اند (برای شماری از اشارات به خوارزمی در کهن‌ترین منابع، نک‍ : طبری، 4 / 596، 5 / 105، 172؛ مسعودی، 186، 221-222، نیز 199: اشاره به زیج خوارزمی؛ نیز برای شماری از اشارات به محمد بن موسی بن شاکر، نک‍ ‍: ابن‌دایه، 128-132؛ طبری، 9 / 253، 292، 349؛ ابن‌خردادبه، 106-107). با وجود کاربرد لقب «منجم» دربارۀ محمد بن موسی بن شاکر، خوارزمی نیز به منجمی شناخته بوده است. یعقوبی نیز در تاریخ خود، آثار «محمد بن موسی الخوارزمی منجم» را از جملۀ مآخذ مهم خود برشمرده است (2 / 6، نیز نک‍ ‍: 7، 22، 113، 245: استناد به خوارزمی).
اما کاربرد کنیۀ ابوجعفر برای خوارزمی را نمی‌توان همیشه نشانۀ خلط میان این دو تن دانست. صاعد اندلسی هنگام اشاره به زیج خوارزمی کنیۀ مؤلف را ابوجعفر آورده، اما میان این دو تمایز قائل بوده است؛ زیرا نخست از «خطاهای روشن زیج خوارزمی که نشان از ضعف مؤلف در هندسه دارد» یاد کرده، و چند صفحۀ بعد فرزندان موسی بن شاکر و ازجمله محمد بن موسى را آگاه‌ترین مردمان در هندسه خوانده است (ص 217، 225؛ نیز نک‍ : قفطی، 270-271). گذشته از این، همو در جاهای دیگری از کتاب خود (ص 155، 246)، از «محمد بن موسى خوارزمی» بدون ذکر کنیه یاد کرده است. قفطی نیز هنگام یادکرد کتاب حساب خوارزمی، به‌اشتباه، کنیۀ او را ابوجعفر آورده است (ص 266-267). کنیۀ نادرست ابوجعفر برای خوارزمی در منابع جدید نیز آمده است؛ از‌جمله هانس فون‌مژیک در چاپ کتاب صورة الارض این کنیه را آورده است (نک‍ : مآخذ). محمد بن احمد خزاعی در شرح جبر خوارزمی (پایان‌یافته در 607 ق / 1210 م) نیز کنیۀ خوارزمی را همواره «ابوبکر» یاد کرده است (نک‍ : دنبالۀ مقاله) که احتمالاً در اثر خلط میان او و ابوبکر محمد‌ بن موسى خوارزمی، فقیه پرآوازۀ حنفی سدۀ 4 ق / 10 م، است.
بااین‌حال، معدودی از نویسندگان پیشین، خوارزمی و محمد بن موسی بن شاکر را باهم خلط کرده‌اند (مقدسی، 532: در ماجرای به سفارت رفتن محمد بن موسی بن شاکر به نزد پادشاه خزران؛ نیز نک‍ : ه‍ د، بنی‌موسى). احتمالاً «محمد بن موسی المنجم الجلیس» که ابوحیان توحیدی (3 / 500؛ نیز نک‍ : قفطی، 358؛ ابن‌عبری، 238) از او یاد کرده وگفته است که او غیر از خوارزمی است، همان محمد بن موسی بن شاکر است (نک‍ : ه‍ د، بنی‌موسى).
نالینـو به استنـاد روایتـی از طبـری ــ کـه «محمد بن مـوسی الخوارزمی المجوسی القطربلّی» را در شمار منجمان و دیوانیانی آورده که 10 روز پیش از مرگ واثق (حک‍ 227-232 ق / 842-847 م) بـر بـالین او حـاضر شدنـد (9 / 151؛ نیـز نک‍ : ابن‌کثیـر، 10 / 308، 309) ــ سال مـرگ خـوارزمی را پـس از 232 ق / 847 م دانستـه (ص 174، پانوشت دوم)، و هاینریش زوتر نیز گویا با پذیرش نظر نالینو، درگذشت خوارزمی را میان سالهای 230-240 ق تخمین زده است («ذیل ... »، 159)؛ تومر نیز نام خوارزمی را به این صورت آورده است (ص 358). اما چون نه از محمد بن موسى خوارزمی و نه از محمد بن موسی بن شاکر در هیچ منبع دیگری با لقب مجوسی یا نسبت قطربلی یاد نشده است، و نیز همین طبری در جای دیگر از او تنها با عنوان «محمد بن موسى خوارزمی» یاد کرده است (8 / 609)، باید گفت که مجوسی قطربلی کس دیگری بوده است (راشد، «خوارزمی: آغاز جبر»، 5، پانوشت 7). همچنین، با توجه به روایات دیگری که نشان از اعتماد بسیار خلفای عباسی، و ازجمله واثـق، بـه محمد بـن مـوسی بـن شاکر دارد (نک‍ : ه‍ د، بنی‌موسى)، شاید بتوان گفت که این روایت نیز مربوط به او ست و طبری میان این دو شخصیت خلط کرده است.
از آنچه گفته شد، می‌توان نتیجه گرفت که خوارزمی در زمان خلافت مأمون به فعالیت علمی مشغول بوده و دست‌کم کتاب الجبر و المقابلۀ خود را در این دوره نوشته است. با توجه به اینکه در فعالیتهای نجومی دورۀ دوم روزگار مأمون (پس از درگذشت یحیی بن ابی‌منصور در 215 ق / 830 م) نامی از خوارزمی نیامده است (نک‍ : دنبالـۀ مقاله، بخش نجوم)، شاید بتوان درگذشت او را اندکی پس از 213 ق، یا با فرض درستی انتساب رسالۀ «دربـارۀ ساعت آفتابی» به او، پس از 221 ق / 836 م دانست (دربارۀ دیگر احتمالات، نک‍ : دنبالۀ مقاله، بخش نجوم).

آثـار

ابن‌ندیم آثار خوارزمی را چنین برشمرده است: کتاب الزیج (دارای دو روایت)؛ کتاب الرخامة؛ کتاب العمل بالاسطرلاب (کار با اسطرلاب)؛ کتاب عمل الاسطرلاب (ساخت اسطرلاب)؛ و کتاب التاریخ (نک‍ : ص 333).
براساس منابع دیگر، این آثار را می‌توان بر سیاهۀ ابن‌ندیم افزود: الجبر و المقابلة (نک‍ : دنبالۀ مقاله، بخش جبر)؛ الجمع و التفریق (نک‍ : دنبالۀ مقاله، بخش حساب)؛ الحساب الهندی (برخی این عنوان و عنوان پیشین را درمجموع، نام یک کتاب انگاشته‌اند؛ نک‍ : دنبالۀ مقاله، بخش حساب)؛ صورة‌ الارض (ه‍ م)؛ و استخراج تاریخ الیهود (نک‍ : دنبالۀ مقاله، بخش نجوم).

I. ریاضیات

آثار خوارزمی در حساب و جبر، کهن‌ترین آثار شناخته‌شدۀ دورۀ اسلامی در ریاضیات به شمار می‌آیند. متن عربی کتاب جبر خوارزمی به دست ما رسیده، اما تاکنون دست‌نوشتی از اصل عربی کتابهای او در حساب شناسایی نشده است و فقط 4 اثر لاتینی مرتبط با برگردان لاتینی گم‌شدۀ کتاب حساب هندی در دست است (نک‍ : دنبالۀ مقاله، بخش حساب).
چنان‌که می‌بینیم، در الفهرست، آثار ریاضی خوارزمی، یعنی الجبر و المقابلة و الجمع و التفریق (و نیز کتاب صورة الارض او)، ذیل شرح حال وی نیامده است. درحالی‌که ابن‌ندیم چند شرح و تفسیر این دو کتاب را برشمرده است (نک‍ : دنبالۀ مقاله)؛ اما در الفهـرست درست پس از شـرح احـوال و آثـار خـوارزمی، شـرح احوال و آثار سَنَد بن علی آمده، و در پایان آن از 3 کتاب الحساب الهندی، الجمع و التفریق و الجبر و المقابلة در شمار آثار او یاد شده است (نک‍ : ابن‌‌ندیم، 334). ازآنجا‌که تاکنون در منابع موجود هیچ اشارۀ دیگری به آثار سند بن علی در جبر یا حساب به چشم نیامده، برخی پژوهشگران تاریخ علم، ازجمله هاینریش زوتر («سیاهۀ ریاضی‌دانان ... »، 29) احتمال داده‌اند که ‌چه‌بسا در این موضع از الفهرست اشتباهی رخ داده و این 3 اثر به جای آنکه در شمار آثار محمد بن موسى خوارزمی بیایند، به‌اشتباه چند سطر پایین‌تر و در پایان مدخل بعدی ثبت شده‌اند. آنچه این احتمال را تقویت می‌کند، این است که کاتب کهن‌ترین دست‌نوشت این اثر که از روی دستخط ابن‌ندیم کتابت شده، هرچند این 3 اثر را در شمار آثار سند بن علی یاد کرده، اما نیک می‌دانسته است که خوارزمی کتابی در جبر و مقابله داشته، زیرا در حاشیۀ مدخل خوارزمی آورده است: «قیل لی ان الروم تعظم کتاب الجبر و المقابلة له و تصفه» (نک‍ : ابن‌ندیم، چ سید، 3 / 236)، که باید افزودۀ کاتب، و نه سخن خود ابن‌ندیم باشد. قاضی صاعد اندلسی نیز یکی از علوم عددی هندیان را که به مسلمانان رسیده، «حساب‌الغبار» دانسته است (ص 157)، که «ابوجعفر [کذا] محمد بن موسى خوارزمی» آن را بسط داده است. اوصافی که قاضی صاعد اندلسی برای این شیوۀ حساب برمی‌شمارد، ازجمله ایجاز و سادگی و آسانی آن، احتمالاً دلالت بر آشنایی او با کتاب الحساب الهندی خوارزمی دارد. قفطی نیز با اندک‌تفاوتی در کلمات (ازجمله: «حساب‌العدد» به جای «حساب‌الغبار») این عبارت را نقل، اما هنگام برشمردن آثار خوارزمی پس از تکرار سیاهۀ آثار مذکور در الفهرست، فقط به افزودن نام الجبر و المقابلة بسنده کرده است (ص 266-267، 286).

الف ـ جبر

چنان‌که پیش‌تر یاد شد، عنـوان کتاب خوارزمی در جبر در منابع کهن ریاضی و نیز در ترجمه‌های لاتینی این اثر الجبر و المقابلة آمده است (نیز نک‍ : بیرونی، تحدید، 236؛ نیز دنبالۀ مقاله، شرحهای جبر خوارزمی). دست‌نوشتهای موجود متن عربی این اثر عنوان ندارند، اما روزن، مترجم و مصحح آن در 1830 م، عنوان را «الکتاب المختصر فی حساب الجبر و المقابلة» گذاشته است که ظاهراً آن را از عبارتی از خطبۀ کتاب گرفته است. محمد بن احمد خزاعی نیز در آغاز شرح خود بر جبر خوارزمی، عبارت «ارید ان اشرح مختصر الشیخ ابی‌بکر محمد بن موسی الخوارزمی» را آورده است (گ 146 ب).
جبر خوارزمی نخستین اثر مستقل تاریخ ریاضیات در موضوع جبر است. واژه‌هایی چون algebra و algbre در زبانهای انگلیسی، فرانسه و مانند آن، همگی به‌واسطۀ زبانهای لاتینی، ایتالیایی یا اسپانیایی کهن مأخوذ از واژۀ «الجبر» عربی است که نخستین‌بار در عنوان عربی این اثر به این معنی به کار رفته است. خوارزمی کتاب جبر را در روزگار مأمون نوشته است. از سوی دیگر، تألیف کتاب جبر پیش از کتاب حساب هندی بوده است (نک‍ : دنبالۀ مقاله، بخش حساب). در‌نتیجه، می‌توان گفت که جبر خوارزمی اولین کتاب ریاضی دورۀ اسلامی است که متن عربی کامل آن به دست ما رسیده است.

محتوای جبر خوارزمی

الجبر و المقابلة را می‌توان به 3 بخش تقسیم کرد: بخش نخست، که بخش نظری‌تر کتاب است، به نظریۀ معادلات و حساب دوجمله‌ایها همراه با کاربردهای آن و دیگر اختصاص دارد؛ بخش دوم دربارۀ مساحت شکلهای هندسی است؛ بخش سوم، که تقریباً نیمی از کتاب را در بر می‌گیرد، «کتاب الوصایا» نام گرفته است. هر بخش به چند باب تقسیم شده است، اما این تقسیم‌بندی در بخش نخست دیده نمی‌شود.

خطبه

خوارزمی (نک‍ : ص 93-95) انگیزه و هدف خود را نوشتن کتابی مختصر دربارۀ جبر دانسته و گفته است که این کتاب را چنان نوشته که به‌رغم اختصار، همۀ مطالب دقیق و مهم این نوع حساب را که مردم در اموری چون وصیت، تقسیم ارث، تقسیم اموال مشترک، امور دیوانی، محاسبات بازرگانی، امور مربوط به داد‌و‌ستد از پیمایش زمین (مساحی) تا پیمایش نهر‌ها، و هندسه و دیگر وجوه و فنون ریاضی نیاز دارند، در بر داشته باشد.

بخش نخست: جبر

در این بخش، خوارزمی (نک‍ : ص 97-201) نخست موجودات ریاضی مورد نیاز در جبر را، که عبارت‌اند از: مال، جذر و «عدد مفرد»، تعریف می‌کند. اگر‌چه خوارزمی، چه در دیباچه و چه در جا‌های دیگر کتاب، بارها بر تنظیم مطالب کتاب بر‌اساس نیازهای مردمان توجه دارد، اما اهمیت این کتاب عمدتاً در ارزش نظری آن است؛ زیرا در این کتاب، علم جبر به‌صورت علمی مستقل با واژگان، مفاهیم و روشهایی خاص پدید می‌آید که آن را از حساب و هندسه متمایز می‌کند (معصومی، 580).
خوارزمی نخست این سلسله‌های عددی را تعریف می‌کند:

1, 2 (=1+1), 3 (=1+1+1) ... , 10
10, 20 (=10+10=2×10), ... , 100 (= 10×10=102)
100 (102),200(=102+102=2×102),...,1000(10×102=103)

آنگاه به قیاس آنها 3 جنس موجوداتی را که در علم جبر به کار می‌روند، تعریف می‌کند که عبارت‌اند از: «شیء» یا «جذر» (مجهول یا x) و «مال» (توان دوم مجهول یا x2)، که به‌ترتیب به قیاس دهگان و صدگان یک عدد ساخته شده‌اند. به عبارت دیگر، چندجمله‌ای ax2+bx+c  با عددی سه‌رقمی در دستگاه دهگانی مانند  abc=a×102+b×10+c  قیاس می‌شود و عدد مطلق نیز متناظر با یکان این عدد است (ص 97؛ دربارۀ تفسیر آن، نک‍ : معصومی، همانجا). به عبارت دیگر، ax2+bx+c  بسط یک عدد سه‌رقمی است که در مبنای x نوشته شده است.
مقصود خوارزمی از دو اصطلاح جبر و مقابله که در عنوان کتاب نیز آمده‌اند، بدین قرار است:

جبر

هرگاه یکی از این 3 جنس در یک سوی معادله از جنسی دیگر کاسته شده باشد، یا به تعبیر امروزی، هرگاه ضریب یکی از جملات منفی باشد، آن را «جبر» می‌‌کنیم، یعنی آن جمله را به دو طرف معادله می‌افزاییم تا این کاستی «جبران» شود (آن را به طرف دیگر معادله می‌بریم)، مانند 7x2-3x=5، که پس از جبر به‌صورت 7x2=5+3x درمی‌آید.

مقابله

هرگاه از یک جنس در دو سوی معادله وجود داشته باشد، با عمل مقابله مقادیر مشترک را از دو سو کم می‌کنیم تا هر جنس فقط در یک طرف معادله ظاهر شود؛ به‌طور مثال، معادلۀ 7x2+3x=x2+5x+1 پس از مقابله به‌صورت 6x2=2x+1  درمی‌آید.
خوارزمی همچنین عملی را که امروزه به‌صورت تقسیم جملات یک معادله بر ضریب بالاترین توان مجهول تعریف می‌شود، دو عمل مجزا در نظر می‌گیرد و بسته به اینکه این ضریب بزرگ‌تر یا کوچک‌تر از یک باشد، آن را به‌ترتیب «ردّ» و «تکمیل» می‌نامد (ص 147، 151، جم‍‌ ). مثلاً در معادلۀ  6x2=2x+1 باید «5 مال» (5x2)  را «ردّ» کنیم؛ و این در‌واقع، به معنی تقسیم همۀ جملات بـر 6 است، یعنـی:  x2=1/3x+1/6. امـا در معادلـۀ  2/3x2=2x+3 «دو ثلث مال» را باید «تکمیل» کنیم تا به «یک مال» برسد. خوارزمی این عمل را به‌صورت افزودن  1/3 همۀ مقادیر به دو سوی معادله تعریف می‌کند که به معنی ضرب همۀ جملات در 3/2  یا تقسیم آنها بر تعداد مالها، یعنی   2/3 است.
خوارزمی سپس همۀ معادلات درجۀ اول و دوم را پس از «جبر» و «مقابله» به 6 نوع معادلۀ متمایز که پیش‌تر برشمرده است، تبدیل می‌کند (ص 145)، به‌نحوی‌که در هیچ‌یک از طرفین معادله به تعبیر امروزی، جمله‌ای با ضریب منفی دیده نشود. او 3 نوع دوم را که در آنها مجموع دو جمله برابر جملۀ دیگر است، «مقترنات» می‌خواند (زیرا همواره دو جمله قرین یکدیگرند). 3 نـوع نخست را نیز ریاضی‌دانان بعدی مفردات نامیدند (زیرا در این 3 نوع، هر جمله در یک سوی معادله «فرد» یا تنها افتاده است). خوارزمی یادآور می‌شود که باید هر مسئلۀ جبر و مقابله را به یکی از این 6 نوع کلی رساند:

مفردات

1. چند مال با چند جذر برابر است؛ 2. چند مال با عددی برابر است؛ 3. چند جذر ‌با عددی برابر است.

مقترنات

4. مجموع چند مال و چند جذر با عددی برابر است؛ 5. مجموع چند مال و عددی با چند جذر برابر است؛ 6. مجموع چند جذر و عددی با چند مال برابر است.

دلیل این طبقه‌بندی این است که ریاضی‌دانان قدیم نه‌تنها عدد منفی را نمی‌شناختند، بلکه صفر را نیز جزو اعداد نمی‌دانستند؛ در‌نتیجه، رابطـه‌ای مانند ax2+bx+c=0 از نظر آنـان نادرست بود، زیرا با فرض مثبت‌بودن ضرایب و نیز مقدار مجهول، هر 3 جملۀ سمت چپ مثبت، و در‌نتیجه مجموع آنها بزرگ‌تر از صفر می‌شد. در‌نتیجه، خوارزمی همۀ معادلاتی را که به‌طور مثال b در آنها عددی منفی است (در حالت کلی: ax2-bx+c=0, b>0 )، به‌‌صورت ax2+c=bx می‌نویسد که همان نوع پنجم از طبقه‌بندی وی است.
البته خوارزمی در همۀ موارد با رد و تکمیل ضریب بالاترین درجۀ مجهول را به واحد (یک) تبدیل می‌کند که البته این کار به کلیت روابطی که او مطرح کرده، آسیبی نمی‌رساند. همچنین در همۀ نمونه‌هایی که برای این معادلات می‌آورد، ضرایب و ریشه‌ها اعداد صحیح‌اند، اما دستور او کلی است. خوارزمی این نمونه‌های عددی را که الگوی حل معادله را به دست می‌دهند، «باب» می‌نامد.

چنان‌که می‌بینیم، هر‌یک از معادلات 4 و 6 تنها یک ریشۀ مثبت دارند، اما معادلۀ 5 همواره دو ریشۀ مثبت دارد. خوارزمی می‌گوید که از این دو ریشه باید یکی را انتخاب کرد (ص 105)، و هرچند تصریح نمی‌کند که ملاک انتخاب یکی از دو ریشه و کنار‌گذاردن ریشۀ دیگر چیست، اما از برخی از مسائلی که در بخشهای دیگر کتاب آورده و به معادله‌ای از این نوع منجر شده است (مثلاً مسائل 3، 5، 6، 25، ص 159-161، 165-167، 185- 189)، چنین برمی‌آید که این ملاک مسئله‌ای است که حل آن به معادله‌ای از نوع 5 منجر شده است؛ هرچند در مواردی دیگر (مثلاً مسئلۀ 20، ص 181، که در آن به جای مسئلۀ اولیه فقط معادله‌ای که از مسئله برمی‌آید، یاد شده است) ملاک انتخابِ یکی از دو ریشه روشن نیست.

پس از آن، خوارزمی دربارۀ شرایط وجود و تعداد پاسخ بر‌حسب مقدار |Δ=(b/2a)2-|c/a  بحث می‌کند. اگر  Δ<0 باشد، معادله پاسخ (به تعبیر امروزی: ریشۀ حقیقی) ندارد؛ اگر Δ=0 باشد، معادله یک ریشه (به تعبیر امروزی: ریشۀ مزدوج) برابر با  |b/2a| دارد؛ و اگر Δ>0  باشد، آنگاه هر دو ریشۀ معادله مثبت خواهند بود، زیرا ، و باید یکـی از آن دو را انتخاب کرد.
اثبات هندسی درستی دستور محاسبۀ ریشۀ مقترنات: خوارزمی (ص 107- 121) نه‌تنها دستورهایی برای حل معادلات درجۀ دوم به دست می‌دهد، بلکه درستی این دستورها را نیز از راه هندسی ثابت می‌کند. در روزگار خوارزمی و تا قرنها پس از آن، هندسه تنها شاخۀ برهانی ریاضیات به شمار می‌آمد، و جبر، بر‌خلاف هندسه، «اصول موضوعه‌»ای نداشت که اثبات بر‌پایۀ آنها انجام شود؛ به عبارت دیگر، آنچه امروز اثبات جبری می‌نامیم، شناخته نبود. پس خوارزمی می‌کوشد تا درستی این دستورها را به یاری هندسه ثابت کند. بنا‌بر‌این، برای هر‌یک از این 3 نوع، «صورتی» می‌آورد که دلیل نصف‌کردن جذرها (ضریب x) را روشن سازد (ص 109- 121؛ برای نمونه‌ای از این اثباتها، نک‍ ‍: معصومی، 582).

باب الضرب

در چگونگی ضرب جمله‌های مفرد و دوجمله‌ایهای جبری در یکدیگر. در این باب، خوارزمی (ص 123- 129) عددهای دو‌رقمی ab10  و cd10 را بـه‌صورت  10a+b و 10c+d در نظر می‌گیرد و آنگاه به قیاس دستورهای

(10a+b) (10c+d)=102ac+10ad+10bc+bd
(10a-b) (10c-d)=102ac-10ad-10bc+bd
(10a+b) (10c-d)=102ac-10ad+10bc-bd
(10a-b) (10c+d)=102ac+10ad-10bc-bd

دستورهایی هم‌ارز با دستورهای

(ax+b) (cx+d)=acx2+adx+bcx+bd
(ax-b) (cx-d)=acx2-adx-bcx+bd
(ax+b) (cx-d)=acx2-adx+bcx-bd
(ax-b) (cx+d)=acx2+adx-bcx-bd

به دست می‌آورد (نک‍ : معصومی، 581).

باب ‌الجمع و النقصان

در این باب، خوارزمی (ص 131-133) مثالهایی از جمع و تفریق اعدادی به‌صورت  a+b و نیز چندجمله‌ایهایی به‌صورت ax2+bx+c  می‌آورد.

القسم [و الضرب للجذور]

در این باب، خوارزمی (ص 135-143) 6 رابطه برای تقسیم جذرهای اعداد، و 5 رابطه برای ضرب جذرها، به‌صورت مثالهای عددی یا در حالت کلی، به دست می‌دهد؛ مثلاً نخستین رابطه برای تقسیم جذرها و نخستین رابطه برای ضرب جذرها را در حالت کلی به این صورت می‌توان نوشت:

همچنین خوارزمی در این باب، برخی از روابط عددی را که در باب پیشین به دست آورده است، با رسم نمودارهای هندسی «اثبات» می‌کند.

باب المسائل الست

این باب مشتمل بر 6 مسئله است که با روش جبر و مقابله و رد و تکمیل به یکی از 6 گونۀ اصلی (مفردات و مقترنات) تبدیل می‌شوند (ص 145- 157).

باب المسائل المختلفة

مشتمل بر 34 مسئله (ص 157-195) که در‌واقع تمرینی برای بخش جبر است. برای حل هر‌یک از این مسائل، نخست باید آن را به یک معادلۀ درجۀ اول یا دوم، و سپس این معادله را به یکی از معادلات شش‌گانه تبدیل کرد. بر‌خلاف مثالهایی که خوارزمی تا اینجا ذکر کرده است، برخی از این مسائل (مثلاً مسئلـۀ 8، ص 171) ریشـه‌هـای گنـگ بـه‌صورت  a+b دارند.

باب المعاملات

خوارزمی (ص 197-201) در این بخش بسیار مختصر، فقط 3 مسئله آورده که هر 3 از طریق تناسب مستقیم (نسبت مستقیم میان بهای کالا و هزینۀ کل) حل می‌شوند. در‌واقع، حل این مسائل به یافتن جزء چهارم تناسب منجر می‌شود.

بخش دوم: هندسه

باب المساحة

در این باب دستورهایی برای به دست آوردن مساحت اشکال سادۀ هندسی آمده است. خوارزمی در آغاز این مبحث، نخست واحد سطح را به‌صورت مربعی که هر ضلع آن واحد باشد، معرفی می‌کند و سپس دستور محاسبۀ سطح و حجم اشکال مختلف هندسی (مربع، مستطیل، مثلث، لوزی، دایره، قطعۀ دایره، مکعب، هرم مثلث‌القاعده یا مربع‌القاعده، و مخروط) را بیان می‌کند (ص 203- 207). همچنین در این بخش او قضیۀ فیثاغورس را هم اثبات می‌کند (ص 209).
خوارزمی برای محاسبۀ مساحت دایره از تقریبهای مختلفی برای عـدد پـی استفـاده می‌کند کـه اولـی ــ (π~3/1/7) C~2R×3/1/7 ــ منشأ یـونانی دارد و بـه هـرون اسکندرانی باز‌می‌گردد (در مورد شناخت خوارزمی از آثار هرون، نک‍ : راشد، «خوارزمی: آغاز جبر»، 56-61). مقدار دوم ــ (π~10) C~40R2=2R10 ــ را شماری از هـندیـان، و روش آخــر ــ (π~62832/20000=3/1416) C~2R 62832/20000 ــ را منجمـان هندی به کار می‌برند. تمامـی این روشها بـه یکدیگر نزدیک است. تقریب سوم بیشترین، و تقریب دوم کمترین دقت را دارد. بیرونی در تحدید نهایات الاماکن آورده است که هندیان نسبت قطر دایره به محیط آن (وارون عدد پی) را 000‘40 به 664‘125 می‌گیرند و محمد بن موسى خوارزمی در دو کتاب زیج و الجبر و المقابلۀ خود، آن را با نصف‌کردن صورت و مخرج به کار برده است (ص 230).

مسائل المساحات

خوارزمی (ص 210-231) در این باب افزون‌بر محاسبۀ مساحت اشکال مختلف هندسی، برخی مسائل جالب را نیز پیش کشیده است؛ از‌جمله مساحت مربعی که 4 رأس آن بر 3 ضلع یک مثلث متساوی‌الساقین معلوم قرار دارند. این مسئله را هرون اسکندرانی نیز آورده است، اما شیوۀ اثبات او هندسی است، درحالی‌که شیوۀ اثبات خوارزمی کاملاً جبری است (نک‍ : راشد، «خوارزمی: آغاز جبر»، 69-70).

بخش سوم: کتاب الوصایا

(ص 232-301): تقریباً نیمی از کتاب خوارزمی به مسائل مربوط به ارث اختصاص دارد. این بخش کـه «کتاب الوصایا» نام دارد، مشتمل بر چند باب است که برخی از آنها وحدت موضوعی دارند و به نوعی خاص از مسائلی کـه در تقسیم میراث پیش می‌آید، می‌پردازند و برخی دیگر گزیده‌ای از مسائل گوناگون مربوط به تقسیم ارث‌اند. همۀ مسائل این کتاب سرانجام به معادله‌ای خطی از نوع bx=c (نوع سوم از مفردات)، یا دستگاهی از معادلات خطی، می‌انجامند.
پیش از خوارزمی، برخی از فقهای بزرگ حنفی و شافعی آثاری در زمینۀ مسائل عملی فقه و از‌جمله ارث تألیف کرده بودند. ابن‌ندیم برخی از این آثار را نام می‌برد که از‌جمله کتابی است از فقیه بزرگ حنفی، محمد بن حسن شیبانی (132- 189 ق / 750-805 م)، به نام حساب الوصایا (نک‍ : ص 257؛ راشد، «خوارزمی: آغاز جبر»، 26). چون این کتاب از میان رفته است، نمی‌توان در مورد نسبت میان مطالب آن و مطالب این بخش از کتاب خوارزمی اظهار‌نظر قطعی کرد؛ اما با توجه به آثاری از این دست که از فقیهان دیگر باز‌مانده است، می‌توان گفت که خوارزمی مسائلی را که فقها عموماً با استفاده از مفهوم نسبت حل می‌کردند، به زبان جبری و با استفاده از مفاهیمی چون «شیء» و جبر و مقابله و رد و تکمیل حل می‌کند (راشد، همان، 28). یکی از بخشهای این باب که «حساب الدور» نام دارد، شامل مسائلی است که در آنها دو نفر متقابلاً از یکدیگر ارث می‌برند و ظاهراً مستلزم نوعی دور است (دربارۀ تعریف این نوع حساب، نک‍ : ابن‌اکفانی، 62).