اقلیدسی و نااقلیدسی، هندسه

اقلیدسی و نااقلیدسی، هندسۀ\hendese-ye oqlīde (o)sī-o(va) nā-oqlīde(o)sī\، یا اِقلیدِسی و نااِقلیدِسی، مطالعۀ نقاط، خطوط، زاویه‌ها، صفحات و حجمها ست که یا بر مبنای 10 اصل موضوع و متعارفِ انتخاب‌شدۀ اقلیدس (ح 300 ق‌‌م)، یا بر مبنای شکل تغییریافته‌ای از اصول اقلیدسی صورت می‌گیرد. این اصول و قضایای ناشی از آنها را اقلیدس در کتاب اصول گردآوری کرده است که مجموعه‌ای از 13 بخش شامل مطالعۀ جنبه‌های گوناگون اَشکال مسطح و فضایی، اندازه‌گیری و روابط متقابل آنها است و به نظر می‌رسد که تنها بخش ناچیزی از نتایج موجود در کتاب اصول متعلق به خود اقلیدس باشد، اگرچه برخی از نتایج و اثباتها مسلماً از خود او ست. ارزش هندسۀ اقلیدسی، بیش از آنکه مربوط به نتایج ریاضی موجود در آن باشد، در روش منظمی نهفته است که اقلیدس برای ارائه و توسعۀ قضایای ریاضی به کار برده است. به مدت بیش از دو هزار سال، این روش، که به روش اصل موضوعی ـ قیاسی موسوم است، به‌عنوان الگویی برای توسعۀ همۀ شاخه‌های ریاضیات به کار رفته است. 5 اصل موضوعه عبارت‌اند از: 
1. از هر دو نقطه یک خط راست می‌گذرد. 
2. هر پاره‌خط را می‌توان تا بی‌نهایت روی خط راست امتداد داد. 
3. با نقطه‌ای به‌عنوان مرکز و پاره‌خطی به‌عنوان شعاع، می‌توان یک دایره رسم کرد. 
4. همۀ زاویه‌های قائمه با هم برابرند. 
5. اگر خطی راست دو خط راست دیگر را قطع کند، امتداد آن دو خط در طرفی که جمع زاویه‌های داخلیِ تولیدشده به‌وسیلۀ خط مورب، کوچک‌تر از دو قائمه است، در بی‌نهایت یکدیگر را قطع می‌کنند (اصل توازی). 
هیلبرت اصل 1 و 5 را با هم درآمیخت و به‌صورت زیر ارائه کرد: 
1. نخست اینکه برای دو نقطه یک خط وجود دارد که آن دو را به هم متصل کند و دوم اینکه این خط یکتا ست. 
2. از هر نقطۀ واقع در خارجِ یک خط اولاً یک خط عبور می‌کند که موازی با آن باشد و ثانیاً این خط یکتا ست. 
5 اصل متعارف نیز عبارت‌اند از: 
1. دو مقدار مساوی با مقدار سوم با هم مساوی‌اند. 
2. اگر به دو مقدار مساوی مقادیر مساوی اضافه کنیم، حاصل‌جمعها با هم مساوی‌اند. 
3. اگر از دو مقدار مساوی مقادیر مساوی کم کنیم، باقی‌مانده‌ها با هم مساوی‌اند. 
4. دو چیزِ قابل انطباق با هم برابرند. 
5. کل از جزء بزرگ‌تر است. 
اقلیدس با استفاده از این 10 اصلِ بدیهی و موضوع، توانست درستی 465 قضیه و گزارۀ ریاضی را ثابت کند. این نخستین‌بار بود که قدرت روشِ اصل موضوعی و قیاسی به ظهور می‌رسید که در آن، درستی قضایای استنتاج‌شده از درستی اصول بدیهی یا اصولِ موضوع ناشی می‌شد. ازآنجاکه اصول موضوعۀ اقلیدس اصول کاملاً بدیهی به نظر می‌رسیدند، معاصران اقلیدس به این نتیجه رسیدند که قضایای ثابت‌شده توصیف صحیحی از جهان خارج ارائه می‌دهند و ابزار معتبری برای مطالعۀ آن‌اند. 
پنجمین اصل موضوع یا اصل توازی اقلیدس تقریباً بلافاصله پس‌از انتشار اصول توجه بسیاری را به خود جلب کرد، زیرا نسبت به بقیۀ اصولِ موضوع کمتر بدیهی به نظر می‌رسید. 
معروف‌ترین بیان این اصل به این ترتیب است که: از یک نقطۀ P غیرواقع بر خطی، یک و تنها یک خط می‌گذرد که در صفحۀ گذرنده از این نقطه و آن خط واقع است و درعین‌حال خط را قطع نمی‌کند. کوششهایی که برای استنتاج اصل توازی از اصول موضوع دیگر، یعنی تبدیل آن به یک قضیه، صورت می‌گرفت، مبتنی بر برهان خُلف بود، بدین معنا که فرض می‌شد یکی از دو نقیض این گزاره که: چنین خطی وجود ندارد یا چنین خطهایی بیش از یکی وجود دارند، صحیح باشد و سعی در جست‌وجوی یک تناقض منطقی می‌شد. برخلاف انتظار، هیچ‌گونه تناقضی مشاهده نمی‌شد، حاصل این تلاش پیدایش دو نوع هندسۀ نااقلیدسی بود که به همان اندازۀ هندسۀ اقلیدسی از سازگاری درونی و اعتبار برخوردار بودند. به‌زودی معلوم شد که غیرممکن است بتوان هیچ‌کدام از 3 نوع هندسه را به‌عنوان هندسۀ صحیحِ منطبق بر عالم واقع، انتخاب کرد و ریاضی‌دانان مجبور شدند که تصور دیرینۀ وجود یک هندسۀ سازگارِ واحد را کنار بگذارند و به 3 نوع هندسۀ متساویاً سازگار و معتبر روی آورند. افزون بر آن، این تصور که سیستمهای ریاضی پدیده‌های موجود در خارج از ذهن‌اند که توسط ریاضی‌دانان کشف می‌شوند، جای خود را به تصور جدیدی داد که بر مبنای آن، سیستمهای ریاضی تنها با انتخاب اصولِ موضوعِ سازگار و مطالعۀ قضایای ناشی از آنها خلق می‌شوند. این تغییر در دیدگاه ما نسبت به ریاضیاتْ مهم‌ترین و ژرف‌ترین بخش از میراث فکری اقلیدس است. 
بخش بزرگی از هندسۀ اقلیدسی همان است که در دبیرستانها تدریس می‌شود. تا سدۀ 19 م هر وقت از هندسه سخن می‌رفت، منظور همان هندسۀ اقلیدسی بود. بررسی مفاهیم اقلیدسی در دو بعد را هندسۀ مسطحه و در 3 بعد را هندسۀ فضایی می‌نامند. این مفاهیم را می‌توان به ابعاد بالاتر نیز تعمیم داد و همچنان آن را هندسۀ اقلیدسی نامید. 
همان‌طور که اشاره شد، بازتعریف اصل توازی منجر به دو هندسۀ نااقلیدسی شد. بیان دیگری از این اصل موضوع آن است که یک و تنها یک خط به‌صورت موازی از نقطه‌ای واقع در بیرون یک خط می‌گذرد. لباچفسکی در 1829 م و یانوش بویوئی در 1831 م، به‌طور مستقل، با این تعریف جدید از اصل توازی، یعنی اینکه از هر نقطۀ بیرون یک خط دو خط موازی با آن عبور می‌کنند، هندسۀ هذلولی را آفریدند. در تعریف جدید دیگری که برپایۀ آن هیچ خطِ گذرنده از نقطۀ بیرون یک خط، موازی با آن نیست، سبب شد که برنهارت ریمان هندسۀ بیضوی را در 1854 م پدید آورد. نتایج این دو هندسۀ نااقلیدسی، جز در مورد قضایای شامل خطهای موازی، با هم یکسان‌اند. 

مآخذ

گرینبرگ، ماروین جِی، هندسه‌های اقلیدسی و نااقلیدسی، ترجمۀ محمد هادی شفیعیها، تهران، 1363 ش؛ نیز: 

Britannica, 1986 (under «Euclidean and non-Euclidean geometry»), 2008 (under «Euclidean geometry»; «non-Euclidean geometry»); Columbia, 6th edition (under «Euclid»; «non-Euclidean geometry»). 
بخش علوم پایه و مهندسی