أَبو کامِل، شجاع بن أسلم بن محمد بن شجاع، المعروف بالحاسب المصري، عالم ریاضي في القرنین 3 و 4هـ / 9 و 10م، و أحد أواخر ممثلي مدرسة الجبر القدیمة في علم الریاضیات لدی المسلمین، وأکبر عالم في الجبر بعد الخوارزمي (ابن الندیم، 339؛ ابن خلدون، 3/1129؛ GAS, V/277). کان یقیم حلقة تدریس، و خدم أیضاً لمدة في المنشآت البحریة لمصر (القفطي، 211؛ أنبوبا، «علم الجبر...»، 79، المقدمة، 17-18). ذکر أبوکامل أَیضاً في عداد رواة الحدیث، ونقل ابن حجر العسقلاني عنه حدیثاً مسنداً (3/139).

ذکرت آثار أبي کامل في المصادر الإسلامیة مقرونةً بإشادة، کما کان بعض من علماء الریاضیات في أوروبا یستندون إلی هذه الآثار (لیفي، 31—30؛ قرباني، 103؛ هو خندیک، المقدمة؛ میه لي، 108؛ برغ غرن، 108). ومع‌ذلک فإن هذه الآثار لم تکن معروفة کثیراً في أوروبا حتی أواخر القرن 19م. وفي السنوات الأخیرة من القرن 19 م و بدایة القرن 20م أجری بعض علماء الغرب دراسات أکثر حول هذا العالم الریاضي البارز (GAS, V/ 277-278).

تعود شهرة أبي کامل بشکل رئیس إلی الأسالیب الجبریة في حل المسائل الهندسیة.

آثاره

1. الجبر و لامقابلة، ویشتمل ثلاثة أبواب. الباب الأول الذي یعرف الآن بکتاب الجبر، و یشبه کتاب الجبر و المقابلة للخوارزمي، إلا أنه یصنف فيمستویً أعلی بکثیر من کتاب الخوارزمي بسبب إثبات معادلات من قبیل:

وکذلک استخدام الدعداد المبهمة کعامل ضرب لمعادلات الدرجة الثانیة و قبول مثل هذا النوع من الدعداد کجذور لهذه المعادلات (یوشکویتش، 220-232؛ برغ غرن، 109). وقد ترجم هذا الباب إلی اللغات اللاتینیة و العبریةو الألمانیة و الإنجلیزیة (GAS, V/281). وفي القسم الثاني من هذا الکتاب و تحت عنوان «المخمس و المعشر»، یتم تعلیم الأسالیب الجبریة لحل المسائل الهندسیة. کان الخوارزمي قد خطا في هذا المجال الخطوات الأولی، إلا أن أبا کامل استخدم هذا الأسلوب بشکل واسع للغایة. و قد أی تکامل هذه الأسالیب أخیراً إلی ظهور الهندسیة التحلیلیة علی ید دیکارت.و فیما یلي نورد نموذجین من المسائل التي حلها أبوکامل بهذا الأسلوب:

ألف- حساب طول ضلع خماسي منتظم محاطي: هناک خماسي منتظم KLMNP محاط في دائرة بقطر NR=2R (الشکل 1)، نرید أن نتوصل إلی NP=x طبقاً لـ R.

المثلثان القائما الزاویة NAP و متشابهان، و بالتالي فإن:

واستناداً إلی قضیة بطلیموس ففي الشکل المربع الأضلاع المحاط LKPM:

واستناداً إلی (1) و (2)، نستنتج:

نقسم طرفي العلاقة (3) علی LK، أي x، وبالتالي:

وبتربیع الطرفین، نستنتج:

وبعد التبسیط نحصل علی:

ب- المسألة الأخری التي عمد أبوکامل إلی حلها باستخدام الجبر، واستخدم فیها لأول مرة المعادلات المبهمة في معادلة الدرجة الثانیة وجمع المساحة مع الطول دون الأخذ بنظر الاعتبار البُعد الذي کان یلتزم به علماء الریاضیات قبله، هي: أن مجموع ارتفاع و مساحة المثلث المتساوي الأضلاع هو 10، والمطلوب حساب الارتفاع.و إذا ماعبرنا هنا عن الارتفاع بـ ×، فإننا سنحصل في المثلث المتساوي الأضلاع ABC (الشکل 2) علی:

وفي القرن 12م ترجم غراردوس الکرمونائي قسم «المخمس و المعشر» إلی اللاتینیة. و في القرن 5 ترجم مُردخاي فینزي هذا الکتاب إلی العبریة (لیفي، 30-31؛ جودائیکا، VI/1301). ویری زوتر أن مصدر ترجمة فینزي کان الترجمة الإسبانیة لهذا الکتاب («رسالة... »، 34). وفي 1896م تمت الترجمة الإیطالیة لهذا الکتاب من قبل ساتشردوته و طبعت في النشرة التي صدرت بمناسبة مرور ثمانین عاماً من حیاة شتاین شنایدر. و قد نقل زوتر هذه الترجمة إلی الألمانیة و نشرها في 1910م بعنوان «رسالة أبة کامل...»؛ کما أشار إلی الأخطاء الکثیرة التي نفذت في ترجمة ساتشردوته (ظ: ن.م، 15-33؛ قا: ساتشردوته، 169-194).

وفي الباب الثالث من الجبر و المقابلة تم بحث المعادلات السیالة من الدرجة الثانیة. و في هذا المجال کان بعض علماء الریاضیات قبل أبي کامل و من جملتهم دیوفانتوس (القرن 3م)، قد قاموا ببعض الإنجازات، و لم یصلنا من الآثار التي بحثت فیها مثل هذه المسائل سوی عدد قلیل، إلا أنه لم تصلنا أیة قرینة تدل علی إحاطة أبي کامل علماً بأرثما طیقي دیوفانتوس و التي قدم فیها معادلاته السیالة (سزیانو، المقدمة، 9-10).

وفیما یلي معادلات أبي کامل السیالة:

وفي نهایة الکتاب طرحت بعض من الهوایات الریاضیة من نوع أجهزة المعادلات الخطیة و کذلک قسم حول مایار إلیه الیوم بشکل ، وفي الختام تم نقل أقسام من کتاب مفقود للخوارزمي.

وقد کان لکتاب الجبر و المقابلة تأثیره البالغ في تکامل علم الجبر. و قد نقل فیبوناتشي عدداً کبیراً من مسائل هذا الکتاب سواء بیسیر من التدخل و التصرف، أو دونما تدخل فیها، و علیه فقد ساعد کثیراً في تطور علم الجبر في أوروبا (یوشکویتش، 228؛ مصاحب، 1205؛ GAS, V/280).

ترجم هذا القسم من الجبر و المقابلة في 1970م من قبل بینکوس شوب ومارتین لیفي إلی الإنجلیزیة، و نشر مع دراسة مختصرة بعنوان «مسائل المعادلات السیالة». وفي 1977م بیّن سزیانو أخطاء هذین العالمین في معرفة کتاب أبي کامل هذا و قیمته العلمیة، وقدم تقییماً آخر له و بیّن بتفصیل أکثر مکانة أبي کامل في تاریخ العلم (سزیانو،«الأسالیب...»، 89-105). وفي 1986 نشر فؤاد سزگین الطبعة المصورة لمخطوطة هذا الکتاب والتي توجد في مکتبة قره مصطفی باشا برقم 379.

2. طرائف الحساب، یشتمل هذا الکتاب علی 6 مسائل یشکل کل منها جهاز معادلة سیالة خطیة. وتُعرض المعادلات السیالة الخطیة التي یطلق علیها أیضاً اسم المعادلات الدیوفانتیة الخطیة علی الشکل التالي:

وفیها تکون المقادیر و b أعداداً ناطقة و موجبة، کما أن الأجوبة المقبولة للمعادلة هي أیضاً صحیحة موجبة، و یعرض جهاز المعادلات السیالة (مع m معادلة، و n مجهول، ) بالشکل التالي:

 وفیها تکون المقادیر الناطقة و التوابع الناطقة من المقادیر والمقادیر أعداداً صحیحة موجبة.

ولم یکن علماء الریاضیات في عصر أبي کامل، أو علی الأقل أولئک الذین کان یعرفهم یدرکون بشکل صحیح المعادلات السیالة الخطیة. ویقول هو نفسه في مقدمة هذا الکتاب: «وعلمت أني متی أخبرت به [أي بما توصل إلیه ] استعظم و استفظع و اتهمني من لایعرفني، فرأیت أن أؤلف کتاباً في هذا الصنف ... و أدل علی استخراج الصواب في المسألة التي یمکن منها ذلک، وأبین ما کان لایمکن فیه إلا جواب واحد، وأشرح ملایمکن فیه جواب ألبتة» («طرائف...»، 294).

وقد عرفت المسائل الست المذکورة بـ «مسائل الطیور» في تاریخ الریاضیات. و فیما یلي نورد بعضاً منها:

ألف- نرید أن نشتري بـ 100 درهم مائة طائر من ثلاثة أنواع: البط، العصافیر، والدجاج، ثمن کل بطة 5 دراهم، و ثمن کل 20 عصفوراً درهم واحد، وثمن کل دجاجة درهم واحد، المطلوب هو عدد هذه الطیور. من الواضح أن المسألة المذکورة یعبّر عنها بمعادلتین ذواتي ثلاثة مجاهیل:

x: عدد البط، y: عدد العصافیر، z: عدد الدجاج.

ویحل أبوکامل هذه المسألة بدون استخدام صیغة المعادلة وبالأسلوب الذي یعرف في لغة الیوم بحذف z بین المعادلتین (أي بیان z طبقاً لـ x و y من کل واحدة من المعادلتین، ثم مساواة النتیجتین):

ب- یعبر عن المسألة الثانیة بالشکل التالي:

ویحلها أبوکامل بنفس الأسلوب السابق، وفي هذه المرة یتوصل إلی ستة أجوبة:

ج- وأما المسألة الخامسة التي عرضها أبوکامل فلاتمتلک جواباً مقبولاً، و یبدو أنه طرحها لبیان إمکانیة مثل هذه الحالة فحسب. والمعادلة الذي نحصل علیها، هي:

ومن خلال ضرب المعادلة الثانیة في 3 و طرح المعادلة الأولی منها (أي حذف z في الحقیقة)، یتوصل أبوکامل إلی هذه النتیجة:

إن أصغر مقدار صحیح لـ x یتناظر مع y=170 و هو ما لایمکن قبوله.

د- المعادلة المستحصلة من سادس مسألة مطروحة في هذا الکتاب، هي:

وهنا أیضاً تکون اأجوبة الصحیحة والموجبة هي المأخوذة بنظر الاعتبار کالعادة. ویتقلیل المعادلة الثانیة من المعادلة الأولی، نستنتج:

وبإحلال مقدار x طبقاً (3) في (1) نستنتج:

ویأخذ أبوکامل الحالتین التالیتین بنظر الاعتبار:

ألف- (m صحیح و موجب)

ب- (m صحیح و غیرسالب)

وفي حالة ألف من (3)، نستنتج:

(k صحیح و موجب)

ومن هذه العلاقة نستنتج أن z مضرب 3، و u مضرب 4، أي:

z=2,4,6,...

z=3,6,9,...

u=4,8,12,...

 ومع الأخذ بنظر الاعتبار الحد الأدني للمقادیر المجازة لـ z و u، أي 3 و 4 بالترتیب، نحصل علی الحد الأکثر للمقدار المجازک y:

أي، u<52.57، إذن في حالة ألف ستکون المقادیر الممکنة u, z,y کالتالي:

 y=2,4,6,...,58

z=3,6,9,...,51

u=4,8,12,...,52

(5)

نحصل علی مقادیر x من المعادلة (3)، و مقادیر y من کل من المعادلتین (1) و (2). و في حالة (ب)، و علی أساس العلاقة (3)، فإن عبارة:

نستنتج من العلاقة الأخیرة، أن z هو مضرب 3. وبالتالي فعلی أساس (3):

وبذلک، فإن المقادیر الممکنة لـ u عبارة عن:

ومن (4)، نستنتج:

إن المقادیر المقبولة لـ u یمکن عرضها کما بحثنا سابقاً علی شکل (q صحیح و غیر سالب). إذن سیکون . وبذلک فإن المقادیر الممکنة في حالة (ب) لـ u, z, y ستکون کالتالي:

 y=1,3,5,...,59

z=3,6,9,...,54

u=2,6,10,...,50

(6)

والآن علینا أن نختار من (5) و (6) أعداداً لکل من المتغیرات في تصدق في (3). إن عدد الاختیارات المقبولة في حالة (ألف) هو 1,233، وفي حالة (ب) 1,445، أي في مجموعه 2,678. وهذه الأرقام یمکن العثور علیها الیوم بسهولة بواسطة الحاسوب، إلاأن اقترابه من الحل الصحیح للمسألة یعتبر عملاً ریاضیاً کبیراً ومنقطع النظیر إذا أخذنا بنظر الاعتبار الوسائل و المستوی المتدني لنظریة الأعداد في عصر أبي کامل. و قد توصل أبو کامل الذي استخرج أولاً الاختیارات المقبولة في حالة (ب)، ثم تناول حالة (ألف) باختصار، إلی الرقم 1,442 لحالة (ب)، ورقم 2,676 لمجموع الاختیارات. و هي نتیجة مدهشة إذا أخذنا بعین الاعتبار إمکانیات عصره (أیضاً ظ: زوتر، «کتاب الطرائف...»، 118؛ یوشکویتش، 233-234).

وفي المخطوطة الوحیدة التي وصلتنا من هذا الکتاب جاء العدد 2,696 ثلاث مرات و العدد 2,676 مرة واحدة، و هو أقرب بکثیر من الجواب الصحیح، باعتبارهما الجواب النهائي للمسدلة (أبو کامل، «الطرائف»، 294، 306،310). ویری زوتر الذي عمدهو أیضاً إلی حل المسألة و توصل إلی الرقم 2,676 نفسه واعتبر أن العدد 2,696 ناجم عن خطأ الکاتب (ن.م، 100, 101, 108, 111). وهذا الاستنتاج صحیح علی الأرجح. وقد قدم في هذه النسخة کذلک الرقم 1,442 للاحتمالات المقبولة في حالة (ب). وهنا لایتحدث زوتر الذي یعتبر هو نفسه الرقم 1,443 صحیحاً لهذه الحالة (في حین أن الجواب الصحیح هو 1,445)، عن احتمال خطد الکاتب، في حین أننا إذا أخذنا بنظر الاعتبار العدد الذي استخرجه أبو کامل فإن خطأ الکاتب محتمل جداً هنا أیضاً بالنسبة إلی مجموع الاحتمالات المقبولة.

ومن الملفت للنظر أن نظائر هذه المسألة طرحت أیضاً في الصین و الهند و أوروبا في القرون الوسطی، وتعرف أکثر هذه المسائل باسم «مسائل السیور»، و یتکرر العدد 100 في غالبیتها باعتباره معلوم المعادلات. و من الواضح أن علماء الریاضیات في هذه البلدان تأثروا ببعضهم البعض في هذا المجال (ظ: جعفري، 101-104, 200). وقد ترجم هذا الکتاب إلی اللغتین العبریة و اللاتینیة (EI2; GAS, V/ 281). وفي 1910م ترجمه زوتر أیضاً إلی الألمانیة و نشر بعنوان «کتاب الطرائف». وفي 1963م نشر أحمد سلیم سعیدان صورة المخطوطة الأصلیة لهذا الکتاب، و التي توجد في لیدن تحت رقم 199، في مجلة معهد المخطوطات العربیة.

وقد طبع هذا الکتاب في 1985م في مجموعة بعنوان تاریخ علم الجبر في العالم العربي في الکویت بتحقیق أحمد سلیم سعیدان. و تختلف هذه الطبعة اختلافات ملفتة للنظر عن النسخة المصورة.

3. مساحة الدرضین، توجد منه مخطوطة في طهران (دانش پژوه، 1/13).

4. الوصایا بالجذور، توجد مخطوطته في الموصل (المکتبة الخاصة لعلي الصائغ) (GAS، ن.ص).

وبالإضافة إلی ماذکر، فقد نسب ابن الندیم الآثار التالیة إلی أبي کامل: الفلاح، متفاح الفلاح، العصیر، الجمع و التفریق، کتاب الخطأین، المساحة و الهندسة، الکفایة (ص 339؛ أیضاً ظ: زوتر «علماء الریاضیات...»، GAS; 43، ن.ص).

المصادر

ابن حجر العسقلاني، أحمد، لسان المیزان، حیدرآبادالدکن، 1330هـ؛ ابن خلدون، المقدمة، القاهرة، دار النهضة؛ ابن الندیم، الهفرست؛ أبوکامل، شجاع، الجبر والمقابلة، الطبعة المصورة، مع مقدمة یان، پ. هو خندیک، فرانکفورت، 1986م؛ م.ن، «طرائف الحساب»، طبعة مصورة، تقـ: أحمد سلیم سعیدان، مجلة معهد المخططوات العربیة، القاهرة، 1963م، ج 9؛ دانش‌پژوه، محمدتقي و بهاءالدین أنواري، فهرست کتابهاي خطي کتابخانۀ مجلس سنا، طهران، 1359ش؛ قرباني، أبوالقاسم، زندگی‌نامۀ ریاضی‌دانان دورۀ إسلامي، طهران، 1365ش؛ القفطي، علي، تاریخ الحکماء، اختصار الزوزني، تقـ: یولیوس لیبرت، لایبزک، 1903م؛ مصاحب، غلام‌حسن،تئوري مقدماتي أعداد، طهران، 1355ش؛ وأیضاً:

Anbuba, A., «L’ Algèbre arabe aux IXe et Xe siècles», Journal for the History of Arabic Science, Aleppo, 1978, vol. II(1); id, introd.L’Algèbre Al-Badiʿ d’ al-Karagi, Beirut, 1964; Berggren, J. L., Episodes in the Mathematics of Medieval Islam, NewYork, 1986; Djafari Naini, A., Geschichte der Zahlentheorie im Orient, Braunschweig, 1982; EI2; GAS; Hogendijk, J. P., introd. Al-Jabr (Vide: PB, Abū Kāmil); Judaica; Juschkevitsch, A., Geschichte der Mathematik im Mittelalter, Leipzig, 1964; Levy, M., «Abū Kāmil», Dictionary of Scientific Biography, NewYork, 1970, vol. I; MEILI, A., La Science arabe et son role dans l’évolution scientifique mondiale, Leiden, 1938; Sacerdote, G., «Il Trattato del Pentagono e del decagono», Festschrift zum 80. Geburtstag Morltz Steinschneider, Leipzig, 1896; Sesiano, J., introd. Books IV to VII of Diophantus Arithmetica, New York, 1982; id, «Les Méthodes d’analyse indeterminée chez Abu-Kamil», Centaurus, Copenhagen, 1977, vol. XXXI; Suter, H., «Die Abhandlung des Abu Kamil schogaʿ b. Aslam…», Bibliotheca Mathematica, 1909-1910, vol. X; id, «Das Buch der seltenheiten der Rechenkunst von Abū Kāmil el-Miṣrī», ibid, 1910-1911, vol. XI; id, Die Mathematiker und Astronomen der Araber und ihre Werke, Leipzig, 1900.

علي‌رضا جعفري نائیني/ خ.